数学の言い回し in English - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

数学で物書きをするときに、"Suppose ...." と書くのか "Assume ...."と書くのか、"Let... "とはどういう関係？と思って調べ事をするも、こんなサイトに行きついたりする
一般言語としての違いはどうかと言えばこんなところに『思いの強さ（think、believe、feel、suppose、guess、expect、consider、assume、imagine、conceive～思う（動詞）の英単語の違い）』の情報はある
同じく一般言語として『結論付けたり、意見を述べたりする動詞(conjecture、infer、speculate、deduce、conclude、gather～推測、結論（動詞）の英単語の違い)』の情報はこんな風にまとまっている
だがやはり、数学の書き物の場合と一般文書とでは違うように思うので、ちょっと長めの文章(A COOK-BOOK OF MATHEMATICS)でひたすら「数学的コンテンツ」では「ない」部分の単語の使い方に注目して拾い出してみることにする
This statement is true ( or false). この命題は真
Basic terms : Negation (Not A), Conjunction (A and B), Disjunction (A or B)、Aではない、AかつB、AまたはB
A implies B: A is sufficient condition for B. B is necessary condition for A. A ならばB、AはBの十分条件、BはAの必要条件
A and B are equivalent . A is necessary and sufficient for B. B is necessary and sufficient for B. 同値 必要十分条件
Linear algebra
- An m × n matrix is a rectangular array of real numbers with m rows and n columns. m x n is called dimension of A or order of A. と言う
- "A subscribed element" Aの下文字付要素
- A shorthand notation of $A = (a_{ij})$ 簡略表現
- A vector is a special case of a matrix ベクトルは行列の特殊な場合
- Given two matrices, A and B, $A +B = (a_{ij} + b_{ij})$ ２つの行列A、Bが与えられたとき（２つの行列A,Bについて）…
- Only if A and B are of the same dimension, A,Bが同じ次元のときに限り
- If A is m x n and B is n x k, and $A \cdot B = C$ , C is m x k. Note the dimenstions of A, B and C. A,B,Cの次元に注意
- "In order to get the element cij of matrix C you need to multiply the ith row of matrix A by the jth column of matrix B." 行列Cのi行j列の要素を得るには、行列Aのi行と行列Bのj列の掛け算をする必要がある
- A system of m linear equations for n unknowns can be written as $A_{mn}x = b$ , where $A=(a_{ij})$ . n個の未知数のためのm連立方程式はAx =b と書ける
- premultiplication by A (Aを前から掛ける A(B+C))
- postmultiplication by A (Aを後ろからかける (B+C)A)
- The commutative law of multiplication is not applicable in the matrix case, $AB \ne BA$ 通用しない、当てはまらない
- We introduce the identity matrix of dimension $n$ as $I_n =\begin{pmatrix} 1 \; 0 \dots \; 0 \\ 0 \; 1 \dots \; 0 \\ \vdots \; \vdots \; \ddots \; \vdots \\ 0 \; 0 \; \dots 1 \end{pmatrix}$ . n次元単位行列を $I_n= ....$ とする（導入する）
- Note that ... . ...であることに注意
- $I_n$ has the following properties: ...は以下のような (":", "|"はsuch thatの意味で用いられることが多い）特徴を有する
- In this sense, the identity matrix corresponds to 1 in the case of scalars. この意味で、単位行列は、スカラーにおける１に相当する
- Non-zero elements of a diagonal matrix only appear on the principle diagonal. 対角行列の非零要素は主対角部にのみ現れる
- We say that B is the transpose of A if ... ...である場合に、BはAの転置であると言う
- Usually transposes are denoted as $A'$ or $A^T$ . 通常、転置（行列）は、…と表す
- The transpose $A'$ of A is obtained $\;\;$ by making the columns of A into the rows of $A'$ . 転置行列 $A'$ はAの列ベクトルを $A'$ の行ベクトルとすることで $\;\;$ 得られる
- $(\alpha A)' = \alpha A'$ , where $\alpha$ is a real number. ただし、…は実数
- If $A'A=I$ , A is called orthogonal. ....ならば、Aは直交（行列）と呼ばれる・言われる
- The inverse matrix $A^{-1}$ is defined as $A^{-1}A = A A^{-1} = I$ . ...と定義される
- Note that A as well as $A^{-1}$ are square matrices of the same dimension (it follows from the necessity to have the preceding line defined). Aも $A^{-1}$ も、Aと $A^{-1}$ の両方とも、同じ次元の正方行列であることに注意。このことは、前述の定義を満足する（という）必要性 $\;\;$ から得られる・から結論付けられる）→こちらで阿原先生でさえも迷っておられるのを見かけるととてもほっとします…
- We can easily check $A A^{-1} = I$ . ...と簡単に確かめることができる
- Not all square matrices have their inverses. すべての正方行列が逆行列を持つわけではない
- If A does B, it is called regular. Otherwise it is called singular. AがBするならregularと呼ばれる・言われる。そうでない場合にはsingularと呼ばれる・言われる
- The formal definition of X is as follows: given Y, $A = ....$ , where P is Q. Xの正式な定義 $\;\$ は次のようになる。Yが与えられたとき、 $A=...$ と表される。ただし、PはQである
- Usually we denote the determinant of A as det(A) or |A|. 通常、Aのデターミナントをdet(A)、または|A|と書く・と表す
- We can give an alternative definition of X. Given the fact that Y, we arrive at following; Xには別の定義を与えることもできる。Yであるという事実が与えられたとき、次のような（定義）に行きつく
- Definition Formula Z. Here X is Y. 定義式Z。（,ではなく、.で定義が終わっている）ただし、XとはYのことである。whereを使うのは、","に引き続いて条件を書き続ける場合。ピリオドで終えてしまった後に、用いた記法の説明を追記するには、Hereで始める
- In general, $det(A + B) \ne det(A) + det(B)$ . (特別な場合は除いて）一般に
- The multiplication of any one row by a scalar k will change the value of the determinant k-fold. …の値をk倍にする
- The interchange of any two rows will alter the sign of the determinant. 任意の２行の交換により、デターミナントの符号は変わる
- .... (a statement on the operations for rows). The same holds true for columns. 列に関しても同じことが成り立つ
- X is not affected by Y. XはYの影響を受けない。YによってXは変わらない
- Using these rules, we can simplify the matrix. これらのルールにより（を使うことにより）、行列を単純化できる
- Assume that matrix A is invertible. 行列Aが逆行列を持つとする（持つものと考えよ）・持つと仮定する（と仮定せよ）
- Xs are Y if and only if Z. XsがYなる必要十分条件はZである (ZのときにXsはYであることが成り立ち、それが成り立つのはその時に限る）
- if and only if there exist numbers $c_1,c_2,...,c_k$ not all zero, such that, ...　すべてが0ではないような数の列…があって、...の条件を満たすような
- n vectors are said to span an n-dimensional vector space or to constitute a basis in an n-dimentional vector space. n個のベクトルがn次元ベクトル空間を張ると言う、または、n-次元ベクトル空間の基底を構成する、と言う
- the maximum number of linearly independent rows is equal to 2. 線形独立な行の（組み合わせの）最大数は２に等しい
- Using the notion of rank, we can re-formulate the condition for non-singularity: ランクという概念を使うことで、非特異条件を次のように言い換えることができる
- If $det(A) \ne 0$ then the system has a unique trivial solution. …ならば…
- Since $A^{-1}$ exists, the solution x can be found as $x = A^{-1} b$ . …が存在するので、解 x はとして得られる。Since ... が示す「理由」は読み手にとってすでに明らかな「理由」だとのこと(こちら)
- We perform the same elementary row operations on matrix A and vector b until A has been reduced to an identity matrix. 行列Aが単位行列になるまで、行列Aとベクトルbとに繰り返し初等的な行演算を実施する
- The vector b will then become the solution. ベクトルbはその結果、解となる
- We can consequently find all elements of vector x using the following formula: 次に示す式を用いることで、ベクトルxの全要素を求めることができる
- Let us solve the following equation for $x_1,x_2$ . 以下の方程式を $x_1,x_2$ について $\;\;$ 解いてみる
- Consider a market for three goods. ３つの商品の市場を考える(ことにする)
- Let us denote $A=..., B=....$ Aを...、Bを...と表すことにしよう(表すことにする）
- $AP = B$ , which implies [P = A^{-1} B]. …すなわち、[P = A^{-1} B]と言うことである
- The HOGE model addresses the following planning problem: HOGEモデルは次のような計画問題を扱う・取り上げる
- Assume that n industries produce n goods and ... n個の企業がn種類の商品を生産するものとする (Considerと比べて、仮の設定の具体性が高いように思われる）
- If we denote an additional demand for good i by $b_i$ , then the optimality condition reads as follows: 商品 i の追加需要を $b_i$ であらわすことにすれば、最適条件は、次に示すように書かれる

- ... we find the solution (a,b,c). ...解が(a,b,c)とわかる
- A quadratic form Q in n variables $x_1,...,x_n$ is a polynomial expression in which each component term has a degree two. n変数の二次形式Qは、多項式表現であって、その多項式を構成する各項が次数２であるもののことである
- For convenience, we assume that $a_{ij}=a_{ji}$ ,... 簡単のために、…と仮定すれば...
- If we replace $>$ with $\ge$ in the above statement, it gives us ... 上の命題の…を...に取り換えると、…となる
- Any number $\lambda$ such that the equation $Ax = \lambda x$ has a non-zero vector-solution x is called an eigenvalue. …なる等式がnon-zeroベクトルであるような解を持つなら、そのような数 $\lambda$ は固有値と呼ばれる
- The objects of a vector space V are called vectors. ベクトル空間Vの「オブジェクト」「存在する対象」
- Define $R^n = \{(u_1,...,u_n)^T | u_i \in R, i = 1,...,n\}$ . …と定義せよ （と言うように $R^n$ を定義せよ・定義する）
- （そのうえで）Consider $u,v \in R^n$ …　を...とする（と考える）
- It is not difficult to verify that $R^n$ together with these operations is a vector space. これらの演算を備えた $R^n$ がベクトル空間であることは容易に確かめられる
- If $u \in R^n, u = (u_1,...,u_n)$ , the norm of u can be introduced as ... (ベクトル空間のノルムは（先に示したようにこれこれだったから）、（このように定義した)uのノルムは、…となる（というように書き表されることになる）
- Let U, V be two vector spaces. U,Vを２つのベクトル空間とする
Calculus
- The function f(x) has a limit A as x approaches a if for each given number $\epsilon >0$ , no matter how small, there exists a positive number $\delta$ ( that depends on $\epsilon$ ) such that $|f(x)-A| < \epsilon$ whenever $0 < |x-a| < b$ .定型的な極限の表現
- Suppose f(x) and g(x) are differentiable. …と仮定する （その仮定が成り立たないことも（多々）あるようなときに、話を進めるために、制約を入れていこうとする感じ）
- In general, any functions built from continuous functions by additions, subtractions, multiplications, divisions and compositions is continuous where defined. ...から…で作られた関数はいずれも、定義された範囲で、...である
- Geometrically speaking, the derivative represents the slope of the tangent line to f at x. 幾何学的に言えば、導関数はfの

xにおける接線の傾きを表す

- The symbol $\frac{d^n}{dx^n}$ denotes an operator of taking the n-th derivatives of a function with respect to x. 記号 $\frac{d^n}{dx^n}$ は、関数のxに関してn次導関数をとる演算子を表す (at xと言うより改まった感じを出しているのかな…）
- Let $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ . We can decompose as $f=\sqrt{y}$ , where $y=x^2+1$ . $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ とする。 $y=x^2+1$ として $f=\sqrt{y}$ と分解することができる
- if x=u(t) and y=v(t) (i.e., x and y are parametrically defined) ,... xとyを媒介変数で定義
- If a function f is a product (or quotient) of a number of other functions, logarithmic function might be helpful while taking the derivative of f. 関数fが多くの関数の積（または商）であるなら、fの導関数を取る際に、対数関数が便利
- If y = f(x) and dx is any number then the differential of y is defined as dy = f'(x). y=f(x)とdxが数値であるなら、yの微分は…と定義される。
- Recall the meaning of the first and the second derivatives of a function f. ...であった。したがって（...であったことを思い出せ。そうすれば、…がわかる）
- This gives us an insight into how to verify that at a stationary point we have a maximum or minimum. このことから、（確認された・対象にしている）停留点が極大か極小かを確かめる方法について見極めることができるようになる
- To compensate for this, we can extend the latter result and to apply the following general test: これ（この不具合）を補うために、後者の結果を拡張し、次に示す一般的な検査法を適用することとする
- Show that if .... , then .... …なら…であることを示せ
- Instead of X, we may resort to the method Y. Xの代わりに、方法Yを使うことにすることもできる
このくらいで、結構、わかったかも。そんなに表現は多くない
似たような用途に使う単語・表現もある程度ニュアンスの違いがあることはわかった