遺伝学・遺伝統計学関連の姉妹ブログ『ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ』
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隣接代数

隣接代数 グラフ グラフ理論 スペクトル *-代数
  • こちらで代数的確率論・量子確率論のことを書いた
  • その中に出てくる隣接代数というものを整理する
  • 隣接行列とは、いわゆるグラフG=(V,E)の|V| \times |V|行列のことで、エッジで結ばれたノードに対応する要素が１でそれ以外が０であるような行列のこと
  • グラフは有限かも無限かもしれないないけれど、「局所有限」であることを仮定することもできる（こともある）
  • 局所有限とは、全てのノードの次数が有限であることである
  • そうすると、隣接行列のm乗A^mを考えたとき、(A^m)_{xy} = \sum_{x_1,...,x_m-1 \in V} A_{x_1x_1}A_{xx2}...A_{x_{m-1}y}の和の中に現れる項のうち有限個のものだけが非０であるので、A^mの(x,y)成分が定義できる、という意味で、局所有限なら無限グラフでも隣接行列Aの生成するA^0,A,A^2,...は隣接代数を構成することが示せる
  • さらに、A^mを用いた複素係数多項式全体も通常の行列演算で可換な*^代数になる
  • これがグラフGの隣接代数
  • *-代数には対合の存在が必要だがそれは
    • (\sum_{i=0}^m c_i A^i )^* = \sum_{i=0}^m \bar{c_i} A^iで与えられる

数学の言い回し in English

数学 英語
  • 数学で物書きをするときに、"Suppose ...." と書くのか "Assume ...."と書くのか、"Let... "とはどういう関係？と思って調べ事をするも、こんなサイトに行きついたりする
  • 一般言語としての違いはどうかと言えばこんなところに『思いの強さ（think、believe、feel、suppose、guess、expect、consider、assume、imagine、conceive～思う（動詞）の英単語の違い）』の情報はある
  • 同じく一般言語として『結論付けたり、意見を述べたりする動詞(conjecture、infer、speculate、deduce、conclude、gather～推測、結論（動詞）の英単語の違い)』の情報はこんな風にまとまっている
  • だがやはり、数学の書き物の場合と一般文書とでは違うように思うので、ちょっと長めの文章(A COOK-BOOK OF MATHEMATICS)でひたすら「数学的コンテンツ」では「ない」部分の単語の使い方に注目して拾い出してみることにする
  • This statement is true ( or false). この命題は真
  • Basic terms : Negation (Not A), Conjunction (A and B), Disjunction (A or B)、Aではない、AかつB、AまたはB
  • A implies B: A is sufficient condition for B. B is necessary condition for A. A ならばB、AはBの十分条件、BはAの必要条件
  • A and B are equivalent . A is necessary and sufficient for B. B is necessary and sufficient for B. 同値 必要十分条件
  • Linear algebra
    • An m × n matrix is a rectangular array of real numbers with m rows and n columns. m x n is called dimension of A or order of A. と言う
    • "A subscribed element" Aの下文字付要素
    • A shorthand notation of A = (a_{ij}) 簡略表現
    • A vector is a special case of a matrix ベクトルは行列の特殊な場合
    • Given two matrices, A and B, A +B = (a_{ij} + b_{ij}) ２つの行列A、Bが与えられたとき（２つの行列A,Bについて）…
    • Only if A and B are of the same dimension, A,Bが同じ次元のときに限り
    • If A is m x n and B is n x k, and A \cdot B = C, C is m x k. Note the dimenstions of A, B and C. A,B,Cの次元に注意
    • "In order to get the element cij of matrix C you need to multiply the ith row of matrix A by the jth column of matrix B." 行列Cのi行j列の要素を得るには、行列Aのi行と行列Bのj列の掛け算をする必要がある
    • A system of m linear equations for n unknowns can be written as A_{mn}x = b , where A=(a_{ij}) . n個の未知数のためのm連立方程式はAx =b と書ける
    • premultiplication by A (Aを前から掛ける A(B+C))
    • postmultiplication by A (Aを後ろからかける (B+C)A)
    • The commutative law of multiplication is not applicable in the matrix case, AB \ne BA 通用しない、当てはまらない
    • We introduce the identity matrix of dimension n as I_n =\begin{pmatrix} 1 \; 0 \dots \; 0 \\ 0 \; 1 \dots \; 0 \\ \vdots \; \vdots \; \ddots \; \vdots \\ 0 \; 0 \; \dots 1 \end{pmatrix}. n次元単位行列をI_n= ....とする（導入する）
    • Note that ... . ...であることに注意
    • I_n has the following properties: ...は以下のような (":", "|"はsuch thatの意味で用いられることが多い）特徴を有する
    • In this sense, the identity matrix corresponds to 1 in the case of scalars. この意味で、単位行列は、スカラーにおける１に相当する
    • Non-zero elements of a diagonal matrix only appear on the principle diagonal. 対角行列の非零要素は主対角部にのみ現れる
    • We say that B is the transpose of A if ... ...である場合に、BはAの転置であると言う
    • Usually transposes are denoted as A' or A^T . 通常、転置（行列）は、…と表す
    • The transpose A' of A is obtained \;\; by making the columns of A into the rows of A'. 転置行列A'はAの列ベクトルをA'の行ベクトルとすることで\;\; 得られる
    • (\alpha A)' = \alpha A', where \alpha is a real number. ただし、…は実数
    • If A'A=I, A is called orthogonal. ....ならば、Aは直交（行列）と呼ばれる・言われる
    • The inverse matrix A^{-1} is defined as A^{-1}A = A A^{-1} = I. ...と定義される
    • Note that A as well as A^{-1} are square matrices of the same dimension (it follows from the necessity to have the preceding line defined). AもA^{-1}も、AとA^{-1}の両方とも、同じ次元の正方行列であることに注意。このことは、前述の定義を満足する（という）必要性\;\; から得られる・から結論付けられる）→こちらで阿原先生でさえも迷っておられるのを見かけるととてもほっとします…
    • We can easily check A A^{-1} = I . ...と簡単に確かめることができる
    • Not all square matrices have their inverses. すべての正方行列が逆行列を持つわけではない
    • If A does B, it is called regular. Otherwise it is called singular. AがBするならregularと呼ばれる・言われる。そうでない場合にはsingularと呼ばれる・言われる
    • The formal definition of X is as follows: given Y, A = ...., where P is Q. Xの正式な定義\;\ は次のようになる。Yが与えられたとき、A=...と表される。ただし、PはQである
    • Usually we denote the determinant of A as det(A) or |A|. 通常、Aのデターミナントをdet(A)、または|A|と書く・と表す
    • We can give an alternative definition of X. Given the fact that Y, we arrive at following; Xには別の定義を与えることもできる。Yであるという事実が与えられたとき、次のような（定義）に行きつく
    • Definition Formula Z. Here X is Y. 定義 式Z。（,ではなく、.で定義が終わっている）ただし、XとはYのことである。whereを使うのは、","に引き続いて条件を書き続ける場合。ピリオドで終えてしまった後に、用いた記法の説明を追記するには、Hereで始める
    • In general, det(A + B) \ne det(A) + det(B). (特別な場合は除いて）一般に
    • The multiplication of any one row by a scalar k will change the value of the determinant k-fold. …の値をk倍にする
    • The interchange of any two rows will alter the sign of the determinant. 任意の２行の交換により、デターミナントの符号は変わる
    • .... (a statement on the operations for rows). The same holds true for columns. 列に関しても同じことが成り立つ
    • X is not affected by Y. XはYの影響を受けない。YによってXは変わらない
    • Using these rules, we can simplify the matrix. これらのルールにより（を使うことにより）、行列を単純化できる
    • Assume that matrix A is invertible. 行列Aが逆行列を持つとする（持つものと考えよ）・持つと仮定する（と仮定せよ）
    • Xs are Y if and only if Z. XsがYなる必要十分条件はZである (ZのときにXsはYであることが成り立ち、それが成り立つのはその時に限る）
    • if and only if there exist numbers c_1,c_2,...,c_k not all zero, such that, ...　すべてが0ではないような数の列…があって、...の条件を満たすような
    • n vectors are said to span an n-dimensional vector space or to constitute a basis in an n-dimentional vector space. n個のベクトルがn次元ベクトル空間を張ると言う、または、n-次元ベクトル空間の基底を構成する、と言う
    • the maximum number of linearly independent rows is equal to 2. 線形独立な行の（組み合わせの）最大数は２に等しい
    • Using the notion of rank, we can re-formulate the condition for non-singularity: ランクという概念を使うことで、非特異条件を次のように言い換えることができる
    • If det(A) \ne 0 then the system has a unique trivial solution. …ならば…
    • Since A^{-1} exists, the solution x can be found as x = A^{-1} b. …が存在するので、解 x はとして得られる。Since ... が示す「理由」は読み手にとってすでに明らかな「理由」だとのこと(こちら)
    • We perform the same elementary row operations on matrix A and vector b until A has been reduced to an identity matrix. 行列Aが単位行列になるまで、行列Aとベクトルbとに繰り返し初等的な行演算を実施する
    • The vector b will then become the solution. ベクトルbはその結果、解となる
    • We can consequently find all elements of vector x using the following formula: 次に示す式を用いることで、ベクトルxの全要素を求めることができる
    • Let us solve the following equation for x_1,x_2. 以下の方程式をx_1,x_2について\;\;解いてみる
    • Consider a market for three goods. ３つの商品の市場を考える(ことにする)
    • Let us denote A=..., B=.... Aを...、Bを...と表すことにしよう(表すことにする）
    • AP = B, which implies [P = A^{-1} B]. …すなわち、[P = A^{-1} B]と言うことである
    • The HOGE model addresses the following planning problem: HOGEモデルは次のような計画問題を扱う・取り上げる
    • Assume that n industries produce n goods and ... n個の企業がn種類の商品を生産するものとする (Considerと比べて、仮の設定の具体性が高いように思われる）
    • If we denote an additional demand for good i by b_i, then the optimality condition reads as follows: 商品 i の追加需要をb_iであらわすことにすれば、最適条件は、次に示すように書かれる

    • ... we find the solution (a,b,c). ...解が(a,b,c)とわかる
    • A quadratic form Q in n variables x_1,...,x_n is a polynomial expression in which each component term has a degree two. n変数の二次形式Qは、多項式表現であって、その多項式を構成する各項が次数２であるもののことである
    • For convenience, we assume that a_{ij}=a_{ji},... 簡単のために、…と仮定すれば...
    • If we replace > with \ge in the above statement, it gives us ... 上の命題の…を...に取り換えると、…となる
    • Any number \lambda such that the equation Ax = \lambda x has a non-zero vector-solution x is called an eigenvalue. …なる等式がnon-zeroベクトルであるような解を持つなら、そのような数\lambdaは固有値と呼ばれる
    • The objects of a vector space V are called vectors. ベクトル空間Vの「オブジェクト」「存在する対象」
    • Define R^n = \{(u_1,...,u_n)^T | u_i \in R, i = 1,...,n\}. …と定義せよ （と言うようにR^nを定義せよ・定義する）
    • （そのうえで）Consider u,v \in R^n …　を...とする（と考える）
    • It is not difficult to verify that R^n together with these operations is a vector space. これらの演算を備えたR^nがベクトル空間であることは容易に確かめられる
    • If u \in R^n, u = (u_1,...,u_n), the norm of u can be introduced as ... (ベクトル空間のノルムは（先に示したようにこれこれだったから）、（このように定義した)uのノルムは、…となる（というように書き表されることになる）
    • Let U, V be two vector spaces. U,Vを２つのベクトル空間とする
  • Calculus
    • The function f(x) has a limit A as x approaches a if for each given number \epsilon >0, no matter how small, there exists a positive number \delta ( that depends on \epsilon) such that |f(x)-A| < \epsilon whenever 0 < |x-a| < b .定型的な極限の表現
    • Suppose f(x) and g(x) are differentiable. …と仮定する （その仮定が成り立たないことも（多々）あるようなときに、話を進めるために、制約を入れていこうとする感じ）
    • In general, any functions built from continuous functions by additions, subtractions, multiplications, divisions and compositions is continuous where defined. ...から…で作られた関数はいずれも、定義された範囲で、...である
    • Geometrically speaking, the derivative represents the slope of the tangent line to f at x. 幾何学的に言えば、導関数はfの

xにおける接線の傾きを表す

    • The symbol \frac{d^n}{dx^n} denotes an operator of taking the n-th derivatives of a function with respect to x. 記号\frac{d^n}{dx^n}は、関数のxに関してn次導関数をとる演算子を表す (at xと言うより改まった感じを出しているのかな…）
    • Let f(x) = \sqrt{x^2+1}. We can decompose as f=\sqrt{y}, where y=x^2+1. f(x) = \sqrt{x^2+1}とする。 y=x^2+1としてf=\sqrt{y}と分解することができる
    • if x=u(t) and y=v(t) (i.e., x and y are parametrically defined) ,... xとyを媒介変数で定義
    • If a function f is a product (or quotient) of a number of other functions, logarithmic function might be helpful while taking the derivative of f. 関数fが多くの関数の積（または商）であるなら、fの導関数を取る際に、対数関数が便利
    • If y = f(x) and dx is any number then the differential of y is defined as dy = f'(x). y=f(x)とdxが数値であるなら、yの微分は…と定義される。
    • Recall the meaning of the first and the second derivatives of a function f. ...であった。したがって（...であったことを思い出せ。そうすれば、…がわかる）
    • This gives us an insight into how to verify that at a stationary point we have a maximum or minimum. このことから、（確認された・対象にしている）停留点が極大か極小かを確かめる方法について見極めることができるようになる
    • To compensate for this, we can extend the latter result and to apply the following general test: これ（この不具合）を補うために、後者の結果を拡張し、次に示す一般的な検査法を適用することとする
    • Show that if .... , then .... …なら…であることを示せ
    • Instead of X, we may resort to the method Y. Xの代わりに、方法Yを使うことにすることもできる
  • このくらいで、結構、わかったかも。そんなに表現は多くない
  • 似たような用途に使う単語・表現もある程度ニュアンスの違いがあることはわかった

Stackageにないパッケージをstackで使うまでの道のり

Haskell Stack Stackage Hackage
  • Haskellではコンパイラや（？）各種パッケージのバージョンの整合性問題で悩むことが多いので、Stackという仕組みをつかって、プロジェクトごとに、実行・作業環境を揃えるのがよいらしい
  • yamlファイルというのを使う
  • このStackだが、Stackで使いやすいようにメンテナンスされたStackageというパッケージ管理サイトのパッケージを使うには、stack.yamlというファイルに書き込んでやれば色々と便利に作られている（らしい）のだが、たまたま、Stackageにはなく、Hackageにあるパッケージを使いたかった
  • 色々と大変だった
  • その顛末をメモしておく
  • まずは、ハスケルをインストールして、stackコマンドも使えるようにしておく
  • 新規のハスケル作業環境を作る
$ stack new hogeproject
$ cd hogeproject
$ stack init
  • こうすることで、hogeproject ディレクトリに一通りのファイル・ディレクトリができる
  • 特にパッケージを加えるつもりがなく、自分でどんどんコードを書いていくなら、この環境に自分の世界を作ればよい
  • そのためには
$ stack build
$ stack ghci
  • として、この世界をビルドして、そのビルドした世界でのghciを立ち上げるなどすればよい
  • パッケージを入れたいとする
  • 今回はHaskellForMathsというパッケージで、Stackageにはなく、Hackageにあるそれを入れることにしたい
  • hogeprojectディレクトリにて
stack install HaskellForMaths
  • とHackageからローカルにインストールする
  • これだけでは使えない
  • stack.yamlファイルの
# extra-deps: []
  • と言う箇所を書き換えて
extra-deps:
- HaskellForMaths-0.4.9
  • と、ちゃんとバージョンも正しく（インストールの時に示されているはずなので）書き込む
  • これで、ローカルにインストールしてあるHaskellForMaths-0.4.9を取り込んでビルドする準備は出来上がっている
$ stack build
$ stack ghci
  • とすると、ちゃんとghciが立ち上がる
  • で、
*Main Lib> import Math.Combinatorics.Graph
  • と、HaskellForMathsの中身を使うべく、importすると、エラーがでる
<no location info>: error
Could not load module 'Math.CombinatoricsGraph'
It is a member of the hidden package 'HaskellForMath-0.4.9'.
You can run ':set -package HaskellForMaths' to expose it.
(Note: this unloads all the modules in the current scope.)
  • 隠れているし、それをghciの中でみえるようにすることもできるけれど、他のモジュールと一緒に使えなくなる。。。
  • それは困る、と言うので、調べ物をすると、こちらにあるように、hogeproject.cabalファイルをいじる必要があると言う
build-depends:
   base >=4.7 && <5
default-language: Haskell2010
  • と書かれている部分を

build-depends:
base >=4.7 && <5
, HaskellForMaths
default-language: Haskell2010
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再々再度のハスケル

ハスケル haskell
  • Haskell。もう一度
  • データ型とか、そもそもの話はこの時期の記事群に、自分が知りたいことが書いてある。すべてはデータ型を定義して、そこから始まる、みたいな。
  • 何か、仕事をしたくなったら、stackを使って、それ専用の環境を作り、パッケージなどもそれ専用にしておく。こちら
$ stack new hogeproject
$ cd hogeproject
$ stack test --fast --file-watch --no-run-tests
$ stack build
$ stack ghci
  • パッケージはyamlに書いて $ stack solverで書き方の確認をすればよいだけらしいのだが…うまくいかない。。。

ぱらぱらめくる『NIST Handbook of Mathematical Functions』

数学 英語 ぱらぱらめくるシリーズ

NIST Handbook of Mathematical Functions Paperback and CD-ROM

NIST Handbook of Mathematical Functions Paperback and CD-ROM

  • 数学英語を覚える為に、ひたすら、この大部(1000ページくらい)の本に出てくる見出し語を書き出して行ってみよう
  • ついでに「気になる数学的な形容詞・動詞」などの表現も、目についたら書き留めていこう
  • Notation 記法
  • Elementary algebra 初等代数学
  • Binomial coefficients 二項係数
  • Finite series 有限級数
  • Arithmetic progression 等差数列
  • Geometric progression 等比級数
  • Partial fractions 部分分数
  • Means 平均
  • Determinants 行列式、デターミナント
  • Calculus of one variable 一変数の微積分学
  • Monotonicity 単調性
  • Continuity 連続性
  • Derivatives 導関数
  • Chain rule 連鎖法則、連鎖律
  • Maxima, minima 極大、極小
  • Mean value Theorem 平均値の定理
  • Leibniz's formula ライプニッツの式（法則）
  • Indefinite integrals 不定積分
  • Integration by parts 部分積分
  • Definite integrals 定積分
  • Infinite integrals 無限積分
  • Change of variables 変数変換
  • Square-integrable functions 二乗可積分関数
  • Convex functions 凸関数
  • Partial derivatives 偏導関数
  • Coordinate systems 座標系
  • Polar coordinates 極座標系
  • Cylindrical coordinates 円筒座標系
  • Spherical coordinates 球面座標系
  • Multiple integral 重積分
  • Vectors ベクトル
  • Dot product of Scalar product ドット積（内積）
  • Magnitude of Vector a ベクトルaの大きさ
  • Angle of Vectors a and b ベクトルaとbとのなす角
  • Unit vectors 単位ベクトル
  • Cross product of Vector product クロス積・ベクトル積
  • Einstein summation convention アインシュタインの縮約記法
  • Vector-valued functions ベクトル値関数
  • Del Operator ナブラ
  • Path integral, line integral 経路積分、線積分
  • Boundary point 境界点
  • Surfaces and integrals over surfaces 面と面の積分
  • Inequalities 不等式
  • Fourier series フーリエ級数
  • Definitions and elementary properties 定義と基本的性質
  • Alternative form 代替形（式）、別形
  • Asymptotic estimates 漸近推定値
  • Uniqueness 一意性
  • Lemma 補題
    • Axion or postulate 公理
    • Conjecture 予想（として述べられている命題、予想段階の命題）
    • Proposition 命題
    • Lemma 補題
    • Corollary 系（命題から明らかに示せる程度のもの）
    • Converse 逆
    • Generalization 一般化（された命題）
  • Convergence 収束
  • Integration and differentiation 積分と微分
  • Transformation 変換
  • Complex numbers and their real and imaginary parts 複素数とその実部と虚部
  • Polar representation 極表現
  • Modulus and phase (複素数の場合の）絶対値と位相
  • Complex conjugate 複素共役
  • Arithmetic operations 算術演算（数を使った処理）
  • Powers 冪、冪乗、（累乗とも）
  • Neightborhood 近傍
  • Limit point 極限点
  • Domain (in C) 領域（連結な開集合）、別の分野では「定義域」
  • Region (in C) ドメインの境界点を含むかもしれない領域
  • Differentiation, differentiable 微分、微分可能
  • Analyticity, analytic 解析的であること、解析的な
  • Holomorphic 複素関数であり、解析的な
  • Harmonic function 調和関数（ラプラス方程式を満足する二回連続微分可能な関数）
  • Winding number 回転数
  • Conformal mapping 共形写像
  • Conformal transformation 共形変換
  • Conformal 角保存的な
  • Convergent, divergent 収束する性質の、発散する性質の
  • Inversion 逆
  • Term-by-term 項別の
  • Dominated convergence 優収束
  • Analytic continuation 解析接続
  • Reflection principle 鏡像原理
  • Residue 留数（孤立特異点周りの経路積分が与える複素数）
  • Multivalued function 多価関数
  • Inverse function 逆関数
  • Contour integral 複素線積分
  • Infinite product 無限積
  • Polynomials 多項式
  • Zeros of polynomials 多項式=0の根
  • Polynomials of degrees of two, three, and four ２次、３次、４次多項式
  • Quadratic, cubic and quartic equations ２次、３次、４次方程式(Equalityは等式で、equationはそれを解こうとする意図があるときに使うと言うようなニュアンスの違いがある（？））
  • Roots of unity １の冪根
  • Continued Fractions 連分数
  • Recurrence relations 再帰関係（式）、漸化式
  • Equivalence 同値関係
  • Contraction and extension 収縮と伸長（連分数の収束列を短くすること・長くすること）
  • Existence of solutions 解の存在
  • Inhomogeneous equation 非斉次方程式
  • Elimination 消去（法）
  • Singularities 特異点
  • Closed form 閉形式
  • Regularity, regurar, regularization 正則、正則な、正則化
  • Summability 総和可能性
  • Fractional integral 分数次積分
  • Fractional derivatives 分数次導関数
  • Support （関数の）台
  • Distributions いわゆる「関数」のうち、ある性質を満足するものを取り上げる必要が出てきて、それをdistributionsと呼ぶようになった。線形汎関数の要素としての性質をもつ関数をdistributionと読んで区別する模様…。「シュワルツの超関数」とか「超関数」という日本語が訳語になっているらしい
  • Test functions その線形汎関数を扱う上っで素性の良いものがtest functions
  • Asymptotic and order symbols 漸近性のシンボル、（ランダウの）漸近記法、0-記法、ランダウのΟ（オミクロン）
  • Uniform asymptotic expansions 一様漸近展開
  • Transcendental equations 超越方程式（代数方程式でない全ての方程式。対数方程式、指数方程式、三角方程式など）
  • Saddle points 鞍点
  • Coalescing 一緒になる、合体する、癒合する
  • Convolution 畳み込み
  • Approxiamtion 近似
  • Numerically satisfactory 数値解法的に十分な（十分に満足できる）
  • Differetinal equations 微分方程式
  • Transition points 転移点
  • Turning point 上昇・下降の向きが変わる点
  • Pole 極
  • Characteristic values 特性値、固有値I
  • Coincidence characteristic values 一致した特性値（値として一致した）
  • Remainder terms 剰余項
  • Floating-point arithmetic 浮動小数点演算
  • Rounding 丸め（四捨五入、切り捨て、切り上げなど）
  • Interval arithmetic 区間演算
  • Rational arithmetic 有理数演算
  • Level-index arithmetic 対数をとって行う計算
  • Linear algebra 線形代数
  • Tridiagonal matrix 対角３列にのみ非ゼロ成分のある行列
  • Norm ベクトルに非負値を与える関数。長さの一般化概念
  • Eigenvalues and eigenvectors 固有値と固有ベクトル
  • Interpolation 補間
  • Partial derivatives 偏導関数
  • Trapezoidal Rules 台形ルール、台形公式
  • Quadrature 求積法
  • Oscillatory integrals 振動積分
  • Linear difference equations 線形差分方程式
  • Homogeneous equations 斉次方程式
  • Ordinary differential equations 常微分方程式
  • Initial-value problem 初期値問題
  • Boundary-value problem 境界値問題
  • Nonlinear equations 非線形方程式
  • Systems of nonlinear equations 連立非線型方程式
  • Quotient-difference 差分商
  • Least squares 最小二乗
  • Splines スプライン関数（区分ごとに定義された多項式関数）
  • Base of natural logarithm 自然対数の底
  • Logarithm, exponential, powers 対数、指数、冪乗
  • Arguments (関数の引数）
  • Trigometric functions 三角関数
  • Periodicity 周期性
  • Multiples 倍数
  • Moduli
  • Moduli 絶対値
  • Interrelation 相互関係
  • Hyperbolic functions 双曲線関数
  • Triangles 三角形
  • Planar right triangles 平面上の直角三角形
  • Spherical triangles 球面三角形
  • Computation 計算法
  • Meromorphic 有理形
  • Extrema 極値
  • Ratios 比
  • Auxiliary functions 補助関数
  • Factorial 階乗
  • Error function 誤差関数
  • Complementary error function 相補誤差関数
  • ここまでで、７章。しばらく（15章まで）は諸関数に関する同様の記述が続く
  • Parabolic Cylinder functions 放物円柱関数
  • Orthogonal polynomials 直交多項式
  • Symmetry 対称な
  • Monomials 単項式
  • Elliptic 楕円
  • Number theory 数論
  • Embedding 埋め込み
  • Torus トーラス
  • 26章から組み合わせとか別の毛色
  • Permutation 順列
  • Cycle サイクル
  • Lattice path 格子上のパス
  • Partition 分割
  • Generating function 母関数
  • Cryptography 暗号手法
  • Primes 素数
  • Factorization 因数分解