正多角形を敷き詰めて正多角形の穴を作る

  • 同じ形のタイルで2次元平面を敷き詰める「タイリング」はいろいろやられている
  • 正多角形でそれをやろうとすると、正三角形、正四角形、正六角形でできることも知られている
  • ちょっと問題を変形してみよう
  • いろいろな辺の数・頂点の数を持つ正多角形のタイルがあったとする
  • すべての正多角形の辺長は同じであるとする
  • それを連結していって、いつの間にかぐるりと回ってぴたりと合わさるのはどういう場合なのだろうか、という問題
  • もしも同じ正多角形だけをピースとするとすると、正三角形・正四角形・正六角形の場合だけらしい
  • Rでやってみる
    • 正多角形の外角が、\pi - \frac{2\pi}{d}であること、正多角形を並べると、それが作る折れ線には正多角形の2頂点分の角度が加わることを使って、試してみる。そして、出来上がる穴がやはり正多角形であることも使う
    • そうすると、ピースがk正多角形だとして,p多角形の穴ができるとすると
    • \sum_{i=1}^p (1-\frac{2}{k}) = 2
    • いろいろなkについてpを解いたときにpが自然数になれば「成功」
  • 穴を特別視しているけれど、結局、正多角形によるタイリングの問題の変形に過ぎない問題
  • ただし、これを3次元での閉多面体的タイリングにするとなると、ちょっと(?)難しくなる