分割表の観点から:3.トーリック・イデアルぱらぱらめくる『Comutational Algebra and Combinatorics of Toric Ideals』

$r_1 \times r_2 \times ... \times r_k = n$ 個のセルからなる分割表を考える
周辺度数が $1,2,...,k$ 軸のそれぞれについて $s_i;i=1,...,k$ カテゴリ分あるとすると、この周辺度数に関する制約の数は $d=\sum_{i=1}^k s_i$ である
ここで $d \times n$ の行列を考える
$n$ 列について、 $n$ 個の変数( $p_i;i=1,2,...,n$ )があるから、それについての多項式環 $k[x]$ を考えることができる( $n$ 変数の多項式の集合って、あるよね、と言うこと)
また $d$ 行についても同様に $d$ 個の変数( $v_j;j=1,2,...,d$ )をとって、それについての多項式環 $k[t]$ を考えることができる( $d$ 変数の多項式の集合って、あるよね、と言うこと)
log-linear modelでは、周辺度数(比率)のべき乗が「周辺度数制約順守のセル値」について一定になる性質がある
- 周辺度数(比率)っていうのは、 $d$ 個の変数 $v_j$ のこと
- べき乗っていうのは、 $n$ 個の変数 $p_i$ のこと
- それらに関係があるわけだけれど、その関係は、 $p_i = \prod_{j=1}^d v_j^{a_{i,j}}$ と書けるじゃない
- この関係は、トーリック・イデアルの定義にはまる性質があるとそういうことのようだ
- 特に、分割表のときは、 $p_i = \prod_{j=1}^d v_j^{a_{i,j}}$ の式の $a_{i,j}$ は結構、疎だけれど、『そんなことを気にするより、「トーリック・イデアル」となることが素晴らしいじゃない、代数的で』という立場で考えましょう、というのは分割表の代数統計的アプローチということのようだ
ここで、 $p_i = \prod_{j=1}^d v_j^{a_{i,j}}$ と書いたけれど、このとき $v_j\ne 0$ でないと、困る(正則関数で…)という部分が「トーリック」なのだ(と思う)
さらに、『ぱらぱらめく』っているテキストの方では、と表されるLaurent polynomial rinkとかも使って説明している
- これは、「行き」と「帰り」とに分離してその組み合わせにすることが便利〜マルコフ基底にするときと相性がよい(そうしないといけない)話
陰関数化〜制約は $d$ 個の変数セットと $n$ 個の変数セットが作った式の集合だけれど、うまくしてやって、 $d$ 個の変数セットで制約を表すとそれもいいなーという話、また、それ自体がイデアル探しと同じ(かぶる)
ここに示す通り