3.トーリック・イデアル ぱらぱらめくる『Comutational Algebra and Combinatorics of Toric Ideals』

  • イントロダクション
    • 1,5,10,50,100,500円玉を使って、ある金額を作れるか、作る方法は何通りあるか、作る方法のうち硬貨の枚数が一番少ないのはどういう組み合わせ化、とかは、0以上の整数で硬貨の枚数を表した、組み合わせ問題とかになっていて、その問題は硬貨の枚数を変数とした連立方程式になっている
    • こういう問題を解くのに使えるのがトーリック・イデアルらしい
  • トーリック・イデアルの基礎
    • dxn行列Aは、長さnのベクトルを長さdの行列に対応付ける
    • 長さnの成分がすべて自然数のベクトル(n次元格子点)の全体を、Aがd次元格子点(の一部)に移す
    • で、今度は、n次元の方で、k[\mathbf{x}] = k[x_1,x_2,...,x_n]なる(多項式?)環(semigroup ring?)を考え、d次元の方でk[\mathbf{t}^{\pm 1}]=k[t_1^{\pm 1},...,t_d^{\pm 1}]を考えて、その間のmapを考えるらしい
    • \hat{\pi} : k[\mathbf{x}] \rightarrow k[\mathbf{t}^{\pm 1}], x_j \mapsto \mathbf{t^{a_j}} := t_1^{a_{1j}}t_2^{a_{2j}}...t_d^{a_{aj}}
    • Aのトーリックイデアルはこの\hat{\pi}カーネルなのだ、という
    • ここで行列Aの成分はA=\{\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_n\} \subset Z^d/\{0\}と言うのだが、このZ^d/\{0\}がトーリックぽいです
    • で、さらにこのようにして定めたトーリック・イデアルI_Ak[\mathbf{x}]の素イデアルであることが示されているらしい
      • I_A = <\mathbf{x^u}-\mathbf{x^v}:\pi(\mathbf{u}=\mathbf{v}>っていうのは、\mathbf{u}\mathbf{v}とをAでmapすると、\mathbf{0}になるということで、これは「分割表で周辺度数を満足する2つの表は同じところにマップされる」と読める
  • トーリックイデアルは素イデアルで、単項式を含まない
    • <\mathbf{x^u}-\mathbf{x^v}>が基本であって、こういう形ばかり、ということ(らしい)
    • 本当は<\mathbf{x^u}-\mathbf{x^v}>だけれどu-v=0って書いちゃう方が、わかってきたら楽、というのもあって(わかってないうちに読むと混乱する…)
    • k[\mathbf{t}^{\pm 1}]=k[t_1^{\pm 1},...,t_d^{\pm 1}]では、±1を問題にするのでx^{p^+}-x^{p^-}というように±を意識した書き方もある
  • トーリック・イデアルのUniversal Grobner bases: Graver basis