2019-12-07

箙の変異と隣接行列の固有値

箙 quiver スペクトルグラフスペクトル固有値変異

メモ的なソースコード

2019-12-03

ノイマン条件での拡散周期関数

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2019-12-02

等長線分で作る閉曲線

等長線分で作る閉曲線。例えば、正n角形

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きちんと閉じるための条件などを考えたい
n本の線分を連結し、その両端点間距離がゼロであることが「閉じる」ということ
n=1のとき、両端点間距離は１(長さが１の線分で作る場合)
n=2のとき、両端点間距離は0-2
n=3のとき、両端点間距離は0-3
n=nのとき、両端点間距離は0-n
ただし、はじめのn-1本の連結線分の両端点間距離がLのとき、n本目を連結すると、最短 $|1-L|$ 、最長 $1+L$ となる
また、n本目を連結して、ちょうど閉じるためには、n-1本の両端点間距離はちょうど１である必要がある
n-1本目までの距離に対して、n本目を連結したときに取りうる距離は連結角の関数として $\sqrt{1+L^2 + 2L \cos{\theta}}$ と表される

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２個の等長線分を連結し、その両端を固定する

このとき、両端点間距離は0～2
長さがいずれの値であるにしろ、いったん平面に置いてしまうと、動かせない
両端点間距離が2より短いときには、上に凸と下に凸との２つの対称的な置き方が可能だが、その２つの置き方を連続的に行き来することができない、ということである
では３個の等長線分を連結し、その両端を固定する
中間に２つの関節がある、これらはぐねぐねと動かせる
今、両端点間距離をLとし、両端点座標を $(0,0),(L,0)$ とする
中間の２点の座標を $(x_1,y_1) = (\cos{\theta_1},\sin{\theta_1})$ 、 $(L-x_2,y_2) = (z_2,y_2) = (L-\cos{\theta_2},\sin{\theta_2})$ とする
このとき式変形をすることにより
$x_2 = \frac{1}{2}(L-x_1) \pm y_1 \sqrt{\frac{3+2x_1 \times L - L^2}{L^2 - 2 * x_1 L +1}}$ が得られる
これをRで実装し、お絵描きしてみる

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緑と赤の線分が対称的になって少しスペースの空いたところがある。ここは「上凸・下凸変換可能性箇所」とでも呼ぶ領域になる。その説明を以下にする
緑の線分と赤の線分とは、二次方程式の解のペアに相当する。この２つの階が重解になるときは、緑の線分と赤の線分が一致し、そのときには、２線分が上にも下にも凸ではない平坦になる
逆に言うと、この重解のときは、上に凸と下に凸との入れ替えがスムーズに可能であることとなる
したがって、緑の線分を徐々に変化させ、緑と赤とが一致するところで色を変え、赤の線分を徐々に変化させることによって、中間２関節位置が同じで、上に凸と下に凸の２状態との間を行き来することができる

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2019-12-01

素数とベン図

素数ベン図

自然数 n 種類が作る $2^n$ カテゴリを２次元平面の領域分割として表す方法がベン図
どんなnでもうまい方法が見つかる(見つけやすい)わけではなく、素数はうまい方法があるという(こちら)
まず、nが素数の場合、 $2^n-2=2(2^{n-1}-1)$ がnで割り切れるという。

library(primes)

n <- 1:100
p <- which(is_prime(n)) # 素数はどれ？
n. <- n[p]
N <- 2^n
N. <- 2^n.
a <- (N-2)/n
a. <- (N.-2)/n.

my.is.integer <- function(a,k=-10){ # 整数かどうかを判定する関数
	(abs(a)-floor(abs(a))) < 10^k
}

all(my.is.integer(a))
all(my.is.integer(a.)) # 素数の場合はそろって整数

$2^n-1$ と素数の関係には別の側面もあって、メルセンヌ数と言うのがあって、その中には素数が結構、含まれることが知られている。ちなみに $2^n-1$ が素数のとき、nも素数だという。ただし素数nに対して $2^n-1$ が素数であるとは限らない
さて、この $2^n-2$ をn等分した数は、 $2^n$ 通りの場合のうちの全0,全1を除いた場合の $1\n$ 画分になる
その画分をポセットにすることが、ベン図の描き方の発見に利用されるという
実際、その画分の要素数は、nからi個を取る場合をn等分したものを足し合わせたものとなるので、 $\sum_{i=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}/n$ と分けられる
ベン図表示の検出にあたっては、このように分けるn対称な取り合わせを構成することを通じて行う。そのような取り合わせはGreene-Kleitman successor ruleというもので発見できるらしい(こちら)

2019-11-14

円から双曲線(懸垂線)へ

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円が縦に伸びて、x=1,x=-1の２本の円直線になったのち、双曲線の間延びしたものに変化して、標準双曲線に移行する様子が見えます

2019-11-06

懸垂曲線と最小曲面

懸垂曲線をぐるりとかいてんしてできる曲面が最小曲面になるという(こちら)
与えられた懸垂曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ をパラメタライズして調べてみる

2019-11-01

ぱらぱらめくる『素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式』英語版

ぱらぱらめくるシリーズ二次形式

英語版PDFはこちら
日本語版の本

素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式 (シュプリンガー数学リーディングス)

作者:J.H.コンウェイ
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2012/07/17
メディア: 単行本

二次形式について考える
整数係数二次形式は格子とみなせる
- 例えば $f(x,y) = 3x^2 + 6xy - 5y^2$ なる整数係数二次形式は
- $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ なる相互に線形独立な２つのベクトルを取ることにより、 $\mathbf{v} = x \mathbf{e}_1 + y \mathbf{e}_2$ と表される整数係数ベクトルは、 $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ が定める格子を指定する
- このとき二次形式 $f(x,y)$ は格子点に整数を与える関数になっている
この格子点とその値を定める二次形式は、基底の取り方を変え、それに合わせて二次形式の係数を変えて、別の関数表現にすることができる
しかしながら、格子点のパターンとその上の値が同じならば、同値とみなすことができる
したがって、異なる二次形式関数が同じ格子パターン・値分布に対応することとなる
このように、基底の取り方によらな格子パターン・値分布について考えたい
また、二次形式は $f(x,y) = a x^2 + b y^2 + h xy = \begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a, h/2 \\ h/2, b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と、行列表現ができる
Equivalentな二次形式における、基底の変換による二次関数係数の変化は $\begin{pmatrix} z\\ w \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} z,w \end{pmatrix} =M^T \begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ なる変換行列 $M$ があったとき、 $f(x,y) = \begin{pmatrix}x,y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z,w \end{pmatrix} M^T A M \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ なる関係があり
$det(M) = \pm 1$ なので
$det(B) = det(A) det(M) det(M^T) = det(A) (det(M))^2 = det(A)$ という関係がある
このように二次形式は行列表現すると、その行列式が二次形式のequivalentと関係する
Topotreeを描いてみる