微分形式

• 微分形式ってなんだろう
• 多様体があって、その上に、微分０形式とか微分１形式とか、いろいろなものがあって、外微分でつながっていたり、双対〜ホッジスターでつながっていたり、微分形式と「実在」とのやりとりをするためのシャープ・フラットがあったりする
• こんな風にとてもごじゃごじゃしているのだけれど…
• でも、こんな風に考えることもできる
• 多様体を決める、場を決める、それはスカラー場だったり、ベクトル場だったり、それ以外の場だったりするけれど、いずれにしろ、与えられた空間〜多様体に「微分・積分できる」条件で敷き詰められた「もの」の広がりがある
• 今、ある場を決めると、そこから外微分したり外積分したり、ホッジしたり…とすれば、あれやこれや、どんどん、出てくる
• どんどん出てくるけれど、それは微分形式が定めた計算ルールで一意に決まってきてしまう
• ということは、「多様体上」に存在する「実在」はただの一つで、それを、０形式的に観察するか、１形式的に観察するか…という違いがあるだけだということだろう
• このように、単に外微分関連の演算だけで変換するものごじゃごじゃたちというのは、一つの「実在」の百変化
• さて。ここに、「微分方程式」が登場する。二つの「実在」が、外微分のどこかしらでつながって、この「実在」ともう一つのこの「実在」はそれぞれ、百面相があるけれど、両者は特定のk形式と特定のl形式とが、「方程式」でつながっているとき、片方の実在の百面相のどれかを観測すると、もう片方の実在に起きることは、方程式で決まるから、このもう片方の実在の百面相のどれも、「方程式的に決まっている」ということになる
• 実際には、この「実在」っていうのは物理量であることが多く、２つの物理量の関係は、どこかで「きれい」に方程式になっているのだけれど、たまたまある物理量の観測は、k形式で、もう片方の物理量はl形式で観測するとなると、その両者の関係は、きれいに書けなくてぐちゃぐちゃしてくる。が、どこかにきれいな関係式があるんじゃあない？
• と、こういうことなのだろう(か？)