グリコゲーム　by NK - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらのコメントにあったようにグリコゲームの得点行列は特殊な形なので少し変形してみました。
変形には外積を使ってみました。

得点行列A
$A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -6\\ -3 & 0 & 6\\ 6 & -6 & 0\end{pmatrix}$
自分の戦略 $\vec{p}$ 、相手の戦略 $\vec{q}$ を用いてゲームで相手より進んでいる歩数の期待値Eは
$E = {}^t\vec{q} A \vec{p}$
と表される。

ここで得点行列Aを１行３列の２本のベクトル $\vec{u}$ と $\vec{v}$ の外積として表す。
$A = \vec{u} \wedge \vec{v}$ （ $\wedge$ は外積）
と分解する。外積の性質として
$\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{u} \circ \vec{v} - \vec{v} \circ \vec{u} =\vec{u} {}^t\vec{v} -\vec{v} {}^t\vec{u}$ 　（ $\circ$ は直積）であるとのことなので
$E ={}^t\vec{q}A \vec{p}\\={}^t\vec{q}(\vec{u} {}^t\vec{v} -\vec{v} {}^t\vec{u}) \vec{p}\\={}^t\vec{q} \vec{u} {}^t\vec{v} \vec{p} - {}^t\vec{q} \vec{v} {}^t\vec{u} \vec{p}\\=(\vec{u},\vec{q})(\vec{v},\vec{p})-(\vec{v},\vec{q})(\vec{u},\vec{p})$ ......(#)
（(,)は内積）となる。

具体的には
$\vec{u} = {}^t(1,-1,0),\vec{v}= {}^t(0,1,2)$
とすれば
$A = 3 \times (\vec{u} \wedge \vec{v})$ となります。

式(#)を使ってゲームのルールAから導かれる $\vec{u},\vec{v}$ と戦略 $\vec{p},\vec{q}$ を幾何学的に解釈できるのかもしれません。そのためには $A=\vec{u} \wedge \vec{v}$ の分解が一意かどうかもふくめて $\vec{u}$ と $\vec{v}$ の関係性を考える必要性があります。　
あとは分散共分散行列のような扱いのできるのかも....

by NK

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行列Aの分解が一意ではないことについて　　　by NK

行列Aを
$A=\vec{u} \wedge \vec{v}$
としてたのですが、今回は $\vec{u},\vec{v}$ を単位ベクトルにしておいて
$A=(k\vec{u}) \wedge (l\vec{v}) = kl(\vec{u} \wedge \vec{v})$
としておきます。ここで行列Bを導入して
$B=k\vec{u} \circ l\vec{v} =kl \vec{u} ^t\vec{v}$
とおくと
$A = B - ^{t}B$
となる。その他の行列は
$^tB = kl(\vec{v} ^t\vec{u})$
$\\B^{-1} = \frac{1}{k^{2}l^{2}} {}^{t}B = \frac{1}{kl} \vec{v} ^t \vec{u}$
また、この $\vec{u},\vec{v}$ を使うと式(#)は
$E =kl\{(\vec{u},\vec{q})(\vec{v},\vec{p})-(\vec{v},\vec{q})(\vec{u},\vec{p})\}\\=kl\begin{vmatrix} (\vec{u},\vec{q}) & (\vec{v},\vec{q})\\ (\vec{u},\vec{p}) & (\vec{v},\vec{p})\end{vmatrix}\\=kl|{}^{t}(\vec{q} \vec{p})(\vec{u} \vec{v})|$

一意性の話に戻ると行列Bは
$B = \begin{pmatrix}a & b & c\\ b-3 & e & f\\ c+6 & f-6 & i\end{pmatrix}$
であれば $A = B - ^{t}B$ を満たすので一般性を保ったまま $B=kl \vec{u} ^t\vec{v}$ のように分解することを考えていけばよさそう。この方針では。 $\vec{u},\vec{v}$ の自由度は高そう。

by NK