2019-12-14

等長辺多角形を作る

多角形閉曲線 R

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2019-12-07

箙の変異と隣接行列の固有値

箙 quiver スペクトルグラフスペクトル固有値変異

メモ的なソースコード

2019-12-03

ノイマン条件での拡散周期関数

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2019-12-02

等長線分で作る閉曲線

等長線分で作る閉曲線。例えば、正n角形

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きちんと閉じるための条件などを考えたい
n本の線分を連結し、その両端点間距離がゼロであることが「閉じる」ということ
n=1のとき、両端点間距離は１(長さが１の線分で作る場合)
n=2のとき、両端点間距離は0-2
n=3のとき、両端点間距離は0-3
n=nのとき、両端点間距離は0-n
ただし、はじめのn-1本の連結線分の両端点間距離がLのとき、n本目を連結すると、最短 $|1-L|$ 、最長 $1+L$ となる
また、n本目を連結して、ちょうど閉じるためには、n-1本の両端点間距離はちょうど１である必要がある
n-1本目までの距離に対して、n本目を連結したときに取りうる距離は連結角の関数として $\sqrt{1+L^2 + 2L \cos{\theta}}$ と表される

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２個の等長線分を連結し、その両端を固定する

このとき、両端点間距離は0～2
長さがいずれの値であるにしろ、いったん平面に置いてしまうと、動かせない
両端点間距離が2より短いときには、上に凸と下に凸との２つの対称的な置き方が可能だが、その２つの置き方を連続的に行き来することができない、ということである
では３個の等長線分を連結し、その両端を固定する
中間に２つの関節がある、これらはぐねぐねと動かせる
今、両端点間距離をLとし、両端点座標を $(0,0),(L,0)$ とする
中間の２点の座標を $(x_1,y_1) = (\cos{\theta_1},\sin{\theta_1})$ 、 $(L-x_2,y_2) = (z_2,y_2) = (L-\cos{\theta_2},\sin{\theta_2})$ とする
このとき式変形をすることにより
$x_2 = \frac{1}{2}(L-x_1) \pm y_1 \sqrt{\frac{3+2x_1 \times L - L^2}{L^2 - 2 * x_1 L +1}}$ が得られる
これをRで実装し、お絵描きしてみる

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緑と赤の線分が対称的になって少しスペースの空いたところがある。ここは「上凸・下凸変換可能性箇所」とでも呼ぶ領域になる。その説明を以下にする
緑の線分と赤の線分とは、二次方程式の解のペアに相当する。この２つの階が重解になるときは、緑の線分と赤の線分が一致し、そのときには、２線分が上にも下にも凸ではない平坦になる
逆に言うと、この重解のときは、上に凸と下に凸との入れ替えがスムーズに可能であることとなる
したがって、緑の線分を徐々に変化させ、緑と赤とが一致するところで色を変え、赤の線分を徐々に変化させることによって、中間２関節位置が同じで、上に凸と下に凸の２状態との間を行き来することができる

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2019-12-01

素数とベン図

素数ベン図

自然数 n 種類が作る $2^n$ カテゴリを２次元平面の領域分割として表す方法がベン図
どんなnでもうまい方法が見つかる(見つけやすい)わけではなく、素数はうまい方法があるという(こちら)
まず、nが素数の場合、 $2^n-2=2(2^{n-1}-1)$ がnで割り切れるという。

library(primes)

n <- 1:100
p <- which(is_prime(n)) # 素数はどれ？
n. <- n[p]
N <- 2^n
N. <- 2^n.
a <- (N-2)/n
a. <- (N.-2)/n.

my.is.integer <- function(a,k=-10){ # 整数かどうかを判定する関数
	(abs(a)-floor(abs(a))) < 10^k
}

all(my.is.integer(a))
all(my.is.integer(a.)) # 素数の場合はそろって整数

$2^n-1$ と素数の関係には別の側面もあって、メルセンヌ数と言うのがあって、その中には素数が結構、含まれることが知られている。ちなみに $2^n-1$ が素数のとき、nも素数だという。ただし素数nに対して $2^n-1$ が素数であるとは限らない
さて、この $2^n-2$ をn等分した数は、 $2^n$ 通りの場合のうちの全0,全1を除いた場合の $1\n$ 画分になる
その画分をポセットにすることが、ベン図の描き方の発見に利用されるという
実際、その画分の要素数は、nからi個を取る場合をn等分したものを足し合わせたものとなるので、 $\sum_{i=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}/n$ と分けられる
ベン図表示の検出にあたっては、このように分けるn対称な取り合わせを構成することを通じて行う。そのような取り合わせはGreene-Kleitman successor ruleというもので発見できるらしい(こちら)