ぱらぱらめくる『数学-その形式と機能』
- 作者: ソーンダースマックレーン,Saunders Mac Lane,赤尾和男,岡本周一
- 出版社/メーカー: 森北出版
- 発売日: 1992/04/01
- メディア: 単行本
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- ぱらぱらめくることも大変だ
- 各章の末尾(か終わりのあたり)に「こんなことだよ」という文章が載っている(そういう章が多い)ので、それをぱらぱらとめくることにする
- 第１章 形式的構造の起源
- 人間活動のアイデア
| 活動 | アイデア | 定式化 |
|---|---|---|
| 集める | 集まり | (元の)集合 |
| 勘定する | １つ次のもの | 後者、順序、順序数 |
| 比較する | 番号付け | 全単射、基数 |
| 計算する | (数の)結合 | 加法規則、乗法規則、アーベル群 |
| 並べ替える | 置換 | 全単射、置換群 |
| 時間を計る | 前後 | 全順序 |
| 観察する | 対称性 | 変換群 |
| 形づくる | 図形、対称性 | 点の集まり |
| 測る | 距離、広がり | 距離空間 |
| 動く | 変化 | 剛体運動、変換群、変化率 |
| 評価する | 近似 | 連続性、極限 |
| 近接 | 位相空間 | |
| 選び出す | 部分 | 部分集合、ブール代数 |
| 論証する | 証明 | 論理結合記号 |
| 選びとる | 機会 | 確率(好都合な場合/全体) |
| 引き続く動作 | 後続 | 合成、変換群 |
-
- 数学上の諸活動
- 難問
- 完全化
- 不変性
- 構造の共通性(類推)
- 内在的構造
- 一般化
- 抽象化
- 公理化
- 証明の分析
- 数学上の諸活動
- 第２章 整数から有理数へ
- 自然数とは何か
- 一連の印の列
- 有限集合
- 有限集合の基数に関する同値類
- 有限順序集合の順序同値類
- 有限集合であって、集合の各元は所属関係によって順序づけられている
- 自然数とは何か
- 第３章 幾何学
- 幾何学は科学であるか？
- 測定によって確かめたりしないところが物理の命題と異なる
- 運動や物の構造、形体などについての経験の中から出てくる諸問題に基礎をおく、ある精巧な知的構造だという
- 知覚。演繹、図形そして観念の織り成す精緻な織り物とも表現されている
- 幾何学は科学であるか？
- 第４章 実数
- 第５章 関数、変換および群
- 像と合成という考え方
- ある集まりに属するものあるいはそれら全体に対して(そのような)操作によって像を形作るという観念から関数が出る
- 関数を逐次反復して作用させる操作の中から合成の概念が出る
- 起源が多様
- 決定的な応用を持つ
- そのほかにもいろいろに応用
- もとになったものを用いて正確に表現できる
- モデルの多様性(それでいてあまり多すぎない)という特徴
- 像と合成という考え方
- 第６章 微積分学の諸概念
- 第７章 線形代数
- 要約
- ベクトルの幾何的イメージと「線形な」作用から始まった
- ベクトル空間の間の線形変換の概念
- 相似性の問題〜同一の線形自己準同形
- 要約
- 第８章 空間が有する形式
- 第９章 力学
- 力学の形式
- 力学の進展とともに、数学の形式が整えられてきた
- 真に数学がかかわりはじめるのは、形式的な規則から経験法則を導き出す方法が発見されたときからであるという
- 抽象化を応用に結びつける方法が見える
- 力学の形式
- 第１０章 複素解析とトポロジー
- 第１１章 集合、論理、圏
- 第１２章 数学のネットワーク
| 起源 | アイデア | その形式化 |
|---|---|---|
| 多項式,sin/tan/log,従属変数 | 関数 | (言語による)形式的表現,値の完全な表,順序対の集合,圏における矢印 |
| 速度,加速度,接線 | 変化率 | 微分係数,導関数,偏微分,複素微分 |
| 微分作用素,行列,算術演算 | 作用,演算 | 線形変換,２項演算,単項演算 |
| 線形順序,半順序,(数や図形の)合同,間在性 | 関係 | ２項関係,順序対の集合,３項関係 |
| 素因数分解,部分分数展開,(多様体の)連結成分 | 分解 | 素イデアル分解,直積,余積 等 |
-
- ネットワーク
- 形式体系、公理系、規則およびそれらの間の連関からなるネットワーク
- 「動くこと」「測ること」「形づくること」「合成すること」「数えること」
- 「遠近法」
- 「対称性」(群論の内部)
- (力学の数学)
- 「数え上げ」「賭け」「選択」「遺伝学」「推計」(確率論)
- 「物の集まり」「構成法」「セマンティクス」「シンタクス」
- 数学を理解するということ
- 類推(アナロジー)
- 例の研究
- 証明の解析
- 関心の推移
- 不変な形での定式化
- 一般化と抽象化
- 個々の場合からの一般化
- 類推的手順による一般化
- 修正による一般化
- 削除による抽象化
- 類推による抽象化
- 考察の焦点の移動による抽象化
- 新機軸
- コンピュータ的複雑性、ファジー集合
- ネットワーク
- まとめ
