ryamadaのコンピュータ・数学メモ

グロタンディーク群 - Wikipediaに
では「グロタンディーク群（英: Grothendieck group）とは、可換なモノイドから最も普遍的な方法で構成されるアーベル群である」と書かれ、それが"自然数から整数を構成する標準的な方法"の一般化として説明されている

冒頭のリンクのWikipedia記事「整数」の「厳密な構成」で説明されている通り、まず、非負整数(自然数)を用意する
これは、加法は閉じているが減法は閉じていない
今、非負整数のペアを考え、なる同値関係をで定める
- 例えば、 $a=1,b=2,c=2,d=3$ は $a+d=1+3=4,b+c=2+2=4$ なので、 $(a,b) \sim (c,d)$ となる
こうすると、非負整数の二次元空間のグリッド点(非負整数のペア(x1,x2))について、たとえば、 $(1,2)$ という格子点と $(2,3)$ という格子点とを通る直線上の格子点が同一視される
$y = x + k$ なる直線が同値類を表す
各同値類の代表グリッド点を $(m+1,1),(1,m+1)$ として取ると、 $(m+1,1)$ は正整数、 $(1,m+1)$ は負整数のように振る舞う