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２つの団変数

団代数 団変数 R Cluster algebra
  • 団代数には、反対称化可能行列Bによって定まる２通りの変化様式がある
  • それぞれの変化様式には、x変数とy変数と呼ばれる有理式が対応する
  • 団変数の変化
    • n変数の団(クラスター)で変化するものとする
    • Bはnxn行列
    • 今、n個のうちk番目に関する変化をさせるものとする
  • x変数の変化は以下の通り
    • i=kのときx'_i = \frac{1}{x_i} ( \prod_{j \ne i} x_j^{(B_{ik})_+} + \prod_{j \ne i} x_j^{(B_{kj})_+})
    • i \ne kのときx'_j = x_i
  • y変数の変化は以下の通り
    • i=kのときy'_i = \frac{1}{y_i}
    • i!=kのときy'_i = y_i (1 + y_k^{sign(B_{ik})})^{B_{ik}}
  • ここで y_i = \prod_{j \ne i} x_i^{B_{ij}}という対応を入れることにする
    • ただし、このBは団変数(B,x),(B,y)が変化するときに、x,yとともに変化するBとする
    • このようなyは、xを変化させて、そこからBの変化したものを使ってyを計算しても
    • yから、yの変化ルールで変化させても、どちらも同じ変化がえられるという
  • この y_i = \prod_{j != i} x_i^{B_{ij}}の定義については、複数の文書にあたったが、Bが変化していることに言及している場合が少なく、紛らわしい
    • 明記してある資料としてはこちらの52ページがある
    • はっきりさせるためには、 y_i = \prod_{j \ne i} x_i^{B_{ij}}のとき、 y_i' = \prod_{j \ne i} x_i'^{B_{ij}'}のように、y,x,Bのすべてに "'"をつけること
expression(1)
expression(((x2 * x3^3 + 1)/x1)^-1/(x1 * ((x2^-1 * x3^-3)^-1 + 
    1)^-1))
expression(((x2 * x3^3 + 1)/x1)^-3/(x1^3 * ((x2^-1 * x3^-3)^-1 + 
    1)^-3))