ぱらぱらめくる『A Guide to Monte-Carlo Simulations in Statistical Physics』

A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics

• 目次
  • 1 Introduction
  • 2 Some necessary background
  • 3 Simple sampling Monte Carlo methods
  • 4 Importance sampling Monte Carlo methods
  • 5 More on importance sampling Monte Carlo methods
  • 6 Off-lattice models
  • 7 Reweighting methods
  • 8 Quantum Monte Carlo methods
  • 9 Monte Carlo renormalization group methods
  • 10 Non-equilibrium and irreversible processes
  • 11 Lattice gauge models: a brief introduction
  • 12 A brief review of other methods of computer simulation
  • 13 Monte Carlo simulations at the periphery of physics and beyond
  • 14 Monte Carlo studies of biological molecules
• 1 Introduction
  • どんなことをシミュレーションする？時間で変化していくこと、擬似乱数列ごとに結果が違うこと、パーコレーション、Diffusion limited aggregation (DLA)など
• 2 Some necessary background
  • Monte-Carloシミュレーションが扱う相転移関係・巨視的現象とそれを構成する成分現象に関する熱力学・統計力学的な概念・用語を押さえよう
  • 熱力学・統計力学
    • 基礎
      • 分配関数(Partition function)
      • Free energy, internal energy and entropy
      • Thermodynamic potentials and corresponding ensembles
      • ゆらぎ(Flucctuations)
    • 相転移
      • 秩序変数(Order parameter)
      • Correlation function
      • First order, second orderの相転移
      • Phase diagram
      • Critical behavior and exponents(臨界指数)
      • Universality and scaling
      • Multicritical phenomena
      • Landau theory
      • Ergodicity and 対称性の破れ(broken symmetry)
      • Fluctuations and the Ginzburg criterion
      • Ferromagnetic Ising model
  • 確率論
    • 基礎
    • 確率分布、中心極限定理
    • Statistical errors
    • Markov chains and master equations(系の発展を決める時間によらない方程式（微分方程式であることが多い）)
    • 乱数列発生
  • Non-equilibrium and dynamics:
    • Physical applications of master equations
    • Conservation laws and their consequences
    • 臨海減速(Critical slowing down at phase transitions)
    • Transport coefficients
• 3 Simple sampling Monte Carlo methods
  • どんなのがあるかの概観章
  • 積分。シンプルサンプリング。インポータンスサンプリング
  • 境界問題（任意の格子点からの酔歩によって行き着いた境界点は「その格子点と境界との遠近パターン」であるのでその重みを反映させる）→こちら)
  • 核崩壊、中性子湯用、流体、パーコレーション、Hoshen-Kopelman(連結成分検出)、Ground state of Hamiltonian、酔歩、Self-avoiding walk、その改良版(Growing self-avoiding walk)
• 4 Importance sampling Monte Carlo methods
  • イジングモデル(格子上に±１のスピン状態を割り付けたモデル。隣接格子点の影響を受ける。その影響を定数で表す)
  • イジングモデルのメトロポリスシミュレーションの概要は、こちらにも
    • ある状態から別の状態に移るかどうかを確率的に決める。自由エネルギー的により安定するなら移るし、そうでないなら、状態数の多寡が移るかどうかの確率を決めるとして、確率的に移す
    • Metropolis importance samplingでは棄却確率を定めて重点的に状態が選択されている(けれど、生起状態の重み逆数を考慮して状態量の計算をしているわけではないのではないか…とは思う)

• • Rが強いベクトル化処理をしてある

n <- 50 # 格子サイズ
maxV <- n^2 # ノード数
V <- 1:maxV # ノードID
x <- (V-1) %% n # x座標
y <- (V-1) %/% n # y座標
# R,L,U,D (右左上下)の隣ノードID
# maxV+1はダミーノードID
R <- V + 1
L <- V -1
L[1] <- maxV+1
U <- V - n
U[which(U<1)] <- maxV+1
D <- V + n
D[which(D>maxV)] <- maxV+1

Neighbor <- cbind(R,L,U,D)
X <- sample(c(-1,1),maxV,replace=TRUE)
X <- c(X,0)
plot(x,y,pch=20,col=X+2)
# ステップ数
n.iter <- 10^3
# 各ステップでの値変化するかもしれないノードID
s <- sample(V,n.iter-1,replace=TRUE)
# 変化するかしないかの確率的選択のための一様乱数
r <- runif(n.iter-1)
# 隣接ノードとの値の積の加算(ダミーノードの値は0なので、計算に組み入れられているけれど大丈夫)
calc.E <- function(X,Neighbor,J){
	-J * sum(X[V] * X[Neighbor])
}
# 各ノードの値の履歴を納める行列
X.hx <- matrix(0,n.iter,maxV+1)
X.hx[1,] <- X
E.hx <- rep(0,n.iter)
J <- 1
K <- 1
# エネルギー値の履歴
E <- calc.E(X,Neighbor,J)
E.hx[1] <- E
for(i in 2:n.iter){
	tmp.X <- X
# 選ばれたノードの値を反転
	tmp.X[s[i-1]] <- X[s[i-1]] * (-1)
# 反転後のエネルギー値を計算
	tmp.E <- calc.E(tmp.X,Neighbor,J)
# 反転後の状態に移るかどうかの判定
	if(tmp.E - E < 0){
		X <- tmp.X
		E <- tmp.E
	}else{
		if(r[i-1] < exp(-(tmp.E-E)/K)融){
			X <- tmp.X
			E <- tmp.E
		}
	}
	X.hx[i,] <- X
	E.hx[i] <- E
	plot(x,y,pch=20,col=X+2)

}
plot(E.hx) # エネルギー値の変化

• • 有限格子で行うとき、周辺をどう扱うか、周辺の存在とその影響がシミュレーション結果にどのように影響するかの考慮が必要
  • 有限格子サイズを大きくする・シミュレーション時間を長くする、どちらも計算機コストが高いので、どちらにどれくらいの重みを置くかなどは考慮点
• 5 More on importance sampling Monte Carlo methods for lattice systems
• 6 Off-lattice models
  • 自由気体などと違って、相互作用のある分子の振る舞いを考える。流体とか
  • 粒子が対称か非対称かで考えるべきことがぐっと変わるので、まずは対称粒子
  • 分子の運動・移動を考える
  • トピックとしては物理化学的なものが扱われている
• 7 Reweighting methods
  • 何度もシミュレーションして、その最終結果をたくさん出してその平均を求める、とかではなくて、シミュレーションの履歴を使って分布を知る、というやり方のこと
• 8 Quantum Monte Carlo
  • 物理学の立場からだと、分子レベルのシミュレーションと量子レベルのそれとは分けて考えたい、ということらしい
• 9 Monte Carlo renormalization group(繰り込み群・繰り込み半群) methods
  • スケール変換して粗視化する
• 10 Non-equilibrium and irreversible processes
  • 理論がなかったりあっても怪しげだったりする中でのモンテカルロシミュレーション
  • Driven diffusion systems
  • Crystal growth
  • Domain growth
  • Polymer growth
  • ゲル化
  • Growth of structures and patterns
    • Eden model of cluster growth
    • Diffusion Limited Aggregation
    • Cluster-cluster aggregation
    • Cellular automata
  • Film growth
    • Ballistic deposition -> KPZ model
    • Sedimentation
    • Kinetic Monte Carlo and MBE(Molecular beam epitaxy) growth
  • Transition path sampling
  • Forced polymer pore translocation
• 11 Lattice gauge models
  • ゲージ理論のモンテカルロシミュレーション
    • リー群・リー代数とかが出てくる
• 12 その他の方法
  • Molecular dynamics
  • 準結晶
  • 衝突小分子の集団(Langevi equations)
  • Micromagnetics
  • Dissipative particle dynamics(流体力学)
  • Lattice gas cellular automata (気体流体)
  • Lattice Boltzmann equation
  • Multiscale simulation
    • 物質科学、生物のソフトマター(巨大分子や分子の大きな集合体であって、ある特徴を持っているようなもの。高分子、液晶、コロイド（エマルション 例：乳液、乳剤、ゾルなど）、生体膜、生体分子（蛋白質、DNAなど）などの柔らかい物質の総称)
• 13 Monte Carlo simulations at the periphery of physics and beyond(物理学周辺分野では)
  • 宇宙物理学
  • 物質科学
  • 化学
  • 'Biologically inspired' physics
    • 家系図(集団内遺伝子伝搬木)
    • たんぱく分子おりたたみ(HPモデル(Hydrophobic-polar protein model,Lattice protein)
    • 細胞のソーティング
  • 生物学
    • 配列ソート
    • 遺伝子制御ネットワークのトポロジーと動態解析
  • 数学・統計学
    • Gibbs sampler, ベイズ推定、パラメトリック統計モデル、組み合わせ論的数論
  • Sociophysics
  • Econophysics
  • Traffic
  • Medicine
  • 遺伝子発現データ解析
  • 医学イメージング
  • 放射線治療デザイン
  • ネットワーク
  • 経済学
• 14 Monte Carlo studies of biological molecules
  • タンパク折り畳み
  • 糖鎖
  • 巨大分子構造