双対

  • Conformal geometric algebraのアプリGAViewerを使って双対について確認しよう
  • このビューアは3次元オブジェクトのコンピュータ・グラフィクスなどを念頭に置いたアプリ。したがって3次元(e1,e2,e3)が基本
  • 3次元ベクトル空間の基本3ベクトルとno,niの2ベクトルの合わせて5ベクトルを使う
  • ひたすら双対を見てみよう(ウェッジ積なので交代については符号を除いて同じです)
dual(no),
dual(e1),
dual(e2),
dual(e3),
dual(ni),
dual(no^e1),
dual(no^e2),
dual(no^e3),
dual(no^ni),
dual(e1^e2),
dual(e1^e3),
dual(e1^ni),
dual(e2^e3),
dual(e2^ni),
dual(e3^ni),
dual(no^e1^e2),
dual(no^e1^e3),
dual(no^e1^ni),
dual(no^e2^e3),
dual(no^e2^ni),
dual(no^e3^ni),
dual(e1^e2^e3),
dual(e1^e2^ni),
dual(e1^e3^ni),
dual(e2^e3^ni),
dual(no^e1^e2^e3),
dual(no^e1^e2^ni),
dual(no^e1^e3^ni),
dual(no^e2^e3^ni),
dual(e1^e2^e3^ni),
dual(no^e1^e2^e3^ni),
  • 以上31通り(2^5-1通り)
ans = 1.00*e1^e2^e3^no
ans = -1.00*e2^e3
ans = -1.00*e3^e1
ans = -1.00*e1^e2
ans = -1.00*e1^e2^e3^ni
ans = -1.00*e2^e3^no
ans = 1.00*e1^e3^no
ans = -1.00*e1^e2^no
ans = -1.00*e1^e2^e3
ans = 1.00*e3
ans = -1.00*e2
ans = -1.00*e2^e3^ni
ans = 1.00*e1
ans = 1.00*e1^e3^ni
ans = -1.00*e1^e2^ni
ans = -1.00*e3^no
ans = 1.00*e2^no
ans = 1.00*e2^e3
ans = -1.00*e1^no
ans = -1.00*e1^e3
ans = 1.00*e1^e2
ans = 1.00
ans = 1.00*e3^ni
ans = -1.00*e2^ni
ans = 1.00*e1^ni
ans = 1.00*no
ans = 1.00*e3
ans = -1.00*e2
ans = 1.00*e1
ans = 1.00*ni
ans = -1.00
  • 点は何か?
    • 内積がゼロであるようなベクトルのこと』:以下、説明
    • x0 * no + x1 * e1 + x2 * e2 + x3 * e3 + xi * ni と表したときに、何が「点」になるかというと
    • x0 = 1 なら xi = (x1^2+x2^2+x3^2)/2のとき。(x0 = kなら、すべてk倍する。k=1にすることをnormalizeする、という)
    • x1=x2=x3=0でx0=1のときはxi=0となって、これが点。なのでGAVierwではa=noとして点を作り、それをドラッグすることで点を作っている。これは(0,0,0)に点を作り、それを移動して、x1,x2,x3を定めた上で、うまく行くようにxiの値を定めることで実現している
    • どうしてこうやるか、というと、点pについては、p \cdot p=0となるのがお約束だが、no,e1,e2,e3,niのそれぞれの内積関係は、no \cdot ni = ni \cdot no=-1で、no \cdot no = ni \cdot ni=0であって、後は、正規直交基底と同じルールになっているから
    • ちなみにno,niはノルムが0のnull vectors
> m
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    0    0    0    0   -1
[2,]    0    1    0    0    0
[3,]    0    0    1    0    0
[4,]    0    0    0    1    0
[5,]   -1    0    0    0    0
    • この作りだと、任意の点のノルムが0であるだけでなく、任意の2点の内積が、距離の二乗の-0.5倍になってくるという都合のよい性質がある
  • 双対関係・内積がゼロの関係
    • 点は自身のノルム(内積)がゼロだが、
    • 「ある点の集合」と、「別のオブジェクトの双対表現」との内積が0のとき、「点の集合」は「オブジェクト」に含まれるという関係。『点同士内積が0ってことは距離が0』だから(とかで説明はOK?)