- 正方形があって、その１つの頂点を原点とし、原点に連結する２辺をx軸とy軸との正の方向にとる
- このとき、x>y, x
- これがn=2次元の立方体の「軸」を意識したn=2等分
- この立方体を単位立方体(辺の長さが１の立方体)とする
- このとき、この等分の仕方は、x=1,y=1の２辺のそれぞれを底辺として、原点を頂点とする直角三角形になっている
- n=3,4,..と一般次元化しよう
- 添付の図はn=3の場合で、x,y,zのうち一番大きい値がx,y,zならば、それぞれ、黒・赤・緑でプロットしたもの
- 原点と(x,y,z)=(1,1,1)が重なるような透視をすると、きれいにわかれていることもわかる
- この３等分は立方体のx=1,y=1,z=1上の面を底面として、原点を頂点とする錐になっている
- 一般に、n次元立方体は、x1=x2=....=xn=1上のn-1次元立方体を「底面」として原点を頂点とする錐で、その体積は、立方体の堆積１の1/n
- 今、n個の選択肢があって、それらを選ぶ際に比較可能なスカラーがあるとする。その値の取り具合をn次元立方体上の点になぞらえて、比較の上、「もっとも大きい値」をもたらす選択肢を採用する、というのは、n次元立方体を上記の錐でn等分するとして、どの錐に入るのかを考えること
- また、それぞれの選択肢がこのスカラーについて確率密度分布を持っているなら、n通りの確率密度の積が作るn次元確率密度分布について、選択肢の確率を求めることは、「n次元確率密度分布」を特定の錐領域について積分すること
n <- 3
n.pt <- 10000
X <- matrix(runif(n*n.pt),ncol=n)
col <- apply(X,1,which.max)
library(rgl)
plot3d(X,col=col)
- この話はこちらの多選択肢での確率的決断に引き継がれる
