0を下限とする分布 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで0を下限とした分布について考えている
カイ分布、カイ二乗分布は距離(非負)に関して定めた分布
カイ分布、カイ二乗分布は正規分布に関して「距離」的に捉えたもの
カイ分布とカイ二乗分布とは、変数x(距離)そのものを考えるか、その二乗を考えるかの違い
非心の分布と「正心」の分布との違いは、対応する正規分布の中心からの距離を考えるか、正規分布の中心以外からの距離を考えるかの違い
カイ分布の確率密度関数
- $f(x,k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}} x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
カイ二乗分布の確率密度関数
- $F(y=x^2,k)=\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}}y^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}$
- $F(y=x^2,k)=\frac{2}{2x}\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}}x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
- $F(y=x^2,k) = \frac{1}{2\sqrt{y}} f(x,k)$
非心カイ分布の確率密度関数
- もととなる正規分布の中心は $x=m$
- - ただしはベッセル関数
    - $I_{\frac{k}{2}-1}(mx) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2}+n)n!}(-1)^n(\frac{mx}{2})^{2n+\frac{k}{2}-1}$
  - これを超幾何関数表記すると
    - $I_{\frac{k}{2}-1}(mx) = \frac{(\frac{mx}{2})^{\frac{k}{2}-1}}{\Gamma(\frac{k}{2})}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{(mx)^2}{4})$
- したがって
- $g(x,k,m) = 2m\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}} (mx)^{k-1} e^{-\frac{x^2+m^2}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{(mx)^2}{4})$
- カイ分布の式と並べておこう
- $f(x,k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}} x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
非心カイ二乗分布の確率密度関数
- 中心は $y=x^2=m^2=M$
- ベッセル関数を用いた表記は
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2}\{I_{\frac{k}{2}-1}(\sqrt{My})\}(\frac{y}{M})^{\frac{k}{4}-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y+M}{2}}$
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2}\{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2x}\{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}}me^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2\sqrt{y}} g(x,k,m)$
- 超関数表記すると
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = M \frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}}(My)^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y+M}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{My}{4})$
4つの密度関数を並べ直してみよう
- $f(x,k)=2\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}} x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}$
- $F(y=x^2,k)=\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}}y^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}$
- $F(y=x^2,k) = \frac{1}{2\sqrt{y}} f(x,k)$
- $g(x,k,m) = \{I_{\frac{k}{2}-1}(mx)\}(\frac{x}{m})^{\frac{k}{2}}me^{-\frac{x^2+m^2}{2}}$
- $g(x,k,m) = 2m\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})}2^{-\frac{k}{2}} (mx)^{k-1} e^{-\frac{x^2+m^2}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{(mx)^2}{4})$
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2}\{I_{\frac{k}{2}-1}(\sqrt{My})\}(\frac{y}{M})^{\frac{k}{4}-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y+M}{2}}$
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = \frac{1}{2\sqrt{y}} g(x,k,m)$
- $G(y=x^2,k,M=m^2) = M \frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} 2^{-\frac{k}{2}}(My)^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{y+M}{2}}\times _0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{My}{4})$
- 正心/非心カイ⇔正心/非心カイ二乗
  - $2x=2\sqrt{y}$ で補正
正心⇔非心
- - $_0F_1(;\frac{k}{2};-\frac{x^2}{4})$ で補正