- ルービックキューブの群について話題になった
- バーチャルに触るにはこちら
- ルービックキューブの操作は群をなしていて、その同値類の数はとても大きいことも教えてもらった
- 他方、20手で「完成」させられることも知られているそうだ(こちら)
- 膨大なパターンがありつつ、たった20手で特定のパターンにたどり着けるということから、ルービックキューブの状態を操作で結んだグラフは相当に密なことがわかる
- そのような群での操作の関係を表す方法にケーリーグラフと言うのがあるそうだ(こちら)
- このように離散的な有限な操作の群はこれでよいとして、連続な空間での力学はどんなふうに考える?
- ごく、単純に1次元空間でばね運動のようなものを考えよう
- 状態は、位置を表す1変数と速度を表す1変数との2変数が作る2次元空間の点に対応づけられる
- ここでエネルギー損失なしに運動を続ければ、この位置x速度の2次元状態平面では円を描く(楕円でもいいけど、適当に拡大・縮小して円にする)
- それではつまらないので、少しエネルギー損失をさせるとし、その損失のさせ方もいろいろ考えると面倒くさいので、ごく簡単に、単位時間当たりの状態平面半径の減少量を一定にしよう
- こうすると、どこからはじめてもらせんを描いてx=0,v=0の状態に落ち込んでしまう
- ここでさらに、変な状態平面を考えて、状態平面的な位置が、原点x=0,v=0からある一定距離に到達すると、状態平面上で特定の半径の位置(角度は同じ)にワープするような、そんな変な「世界」にあるとしよう
- そんな世界での状態平面上のパスはこんな感じ
t <- seq(from=0,to=1000,length=10000)
Tmin <- 1
Tmax <- 10
k <- 1
d <- 9
r <- ((t*k)%%d)/d *(Tmax-Tmin) + Tmin
plot(r*cos(t),r*sin(t),cex=0.5,col=topo.colors(length(t)))