ワープする空間

  • ルービックキューブの群について話題になった
    • 今年の新成人は触ったこともないそうだ
  • バーチャルに触るにはこちら
  • ルービックキューブの操作は群をなしていて、その同値類の数はとても大きいことも教えてもらった
  • 他方、20手で「完成」させられることも知られているそうだ(こちら)
  • 膨大なパターンがありつつ、たった20手で特定のパターンにたどり着けるということから、ルービックキューブの状態を操作で結んだグラフは相当に密なことがわかる
  • そのような群での操作の関係を表す方法にケーリーグラフと言うのがあるそうだ(こちら)
  • このように離散的な有限な操作の群はこれでよいとして、連続な空間での力学はどんなふうに考える?
  • ごく、単純に1次元空間でばね運動のようなものを考えよう
  • 状態は、位置を表す1変数と速度を表す1変数との2変数が作る2次元空間の点に対応づけられる
  • ここでエネルギー損失なしに運動を続ければ、この位置x速度の2次元状態平面では円を描く(楕円でもいいけど、適当に拡大・縮小して円にする)
  • それではつまらないので、少しエネルギー損失をさせるとし、その損失のさせ方もいろいろ考えると面倒くさいので、ごく簡単に、単位時間当たりの状態平面半径の減少量を一定にしよう
  • こうすると、どこからはじめてもらせんを描いてx=0,v=0の状態に落ち込んでしまう
  • ここでさらに、変な状態平面を考えて、状態平面的な位置が、原点x=0,v=0からある一定距離に到達すると、状態平面上で特定の半径の位置(角度は同じ)にワープするような、そんな変な「世界」にあるとしよう
  • そんな世界での状態平面上のパスはこんな感じ

t <- seq(from=0,to=1000,length=10000)

Tmin <- 1
Tmax <- 10

k <- 1
d <- 9

r <- ((t*k)%%d)/d *(Tmax-Tmin) + Tmin

plot(r*cos(t),r*sin(t),cex=0.5,col=topo.colors(length(t)))