2012-04-30

立体埋め尽くしの元素数１

ペンタドロンをRで描く

- 頂点と頂点間の線分(辺または「対角線」)のペンタドロンと、それに接するペンタドロンの内部の点を描いてみる
- ペンタドロンは６頂点の３次元図形であって、５面体
- この２つの「スケルトン・ペンタドロン」と「乱点ペンタドロン」を併せると、立方体の六分の一を占めている(立方体の１面の半分を底面とする錐)

# 6頂点ある
vs<-matrix(0,6,3)
vs[1,]<-c(0,0,0)
vs[2,]<-c(0,0,1)
vs[3,]<-c(0,3/4,1/4)
vs[4,]<-c(0,1/2,0)
vs[5,]<-c(1/4,1/4,0)
vs[6,]<-c(1/2,1/2,1/2)
library(rgl)
plot3d(vs)
for(i in 1:5){
	for(j in 2:6){
		segments3d(vs[c(i,j),])
	}
	
}
# 内部の点は５つの面による不等式
# 立方体の内部の点をランダムに発生させる
N<-50000
Rs<-matrix(runif(N*3),ncol=3)
# ５つの面による不等式
P<-matrix(0,N,5)
# z>=0
P[which(Rs[,3]>=0),1]<-1
# y>=x
P[which(Rs[,2]>=Rs[,1]),2]<-1
# x>=0
P[which(Rs[,1]>=0),3]<-1
# x+y>=z+1/2
P[which(Rs[,1]+Rs[,2]-Rs[,3]>=1/2),4]<-1
# y+z<=1
P[which(Rs[,2]+Rs[,3]<=1),5]<-1
# すべての不等式を満足する点を選ぶ
Insides<-c()
Insides<-apply(P,1,prod)
# 内部の点と、隣接する頂点座標とを行連結した行列を３次元プロットする
plot3d(rbind(Rs[which(Insides==1),],vs))
for(i in 1:5){
	for(j in 2:6){
		segments3d(vs[c(i,j),])
	}
	
}
# 乱点内部の点の数は、全点の約1/12になる
> length(which(Insides==1))
[1] 4242
> N/12
[1] 4166.667

細胞による立体の埋め尽くしは泡による立体埋め尽くしであって、泡の場合には、平衡多面体の一つである切頂八面体だという

- 切頂八面体はPermutohedronの次数4の場合

- Permutohedron(置換多面体)は置換の立体表現(関連記事はこれら)
- 泡(シャボン膜)の数理はこちらでやったこと
  - シャボン膜の数理では、「単位体積当たりの面積を最小にする法則」による説明だった
  - 埋め尽くしに関しては、「平等の法則」の結果(の一つ)？もしくは、単位立体による埋め尽くしのうち、「最も安定」なものとして、切頂八面体が選ばれた、ということか
平行多面体を埋め尽くす単位立体ペンタドロンに関する記事が新聞に出ていた
- 日本語での論文がこちら
  - ikuro's homepageの佐藤先生の論文
平行多面体はゾーン多面体の部分をなす
- ゾーン多面体は「向かいあった辺同士が全て平行になっている多角形のみで構成されている立体」
- その一部を成すのが等面菱形多面体 (Rhombohedra) (面が全て同一の菱形のみで構成されているゾーン多面体)
- また別のくくりで、ゾーン多面多いの一部を成すのが平行多面体で５種類ある
  - 平行六面体
  - 正六角柱
  - 切頂八面体
  - 菱形十二面体
  - 長菱形十二面体
この平行多面体６種は、単一の５面体(ペンタドロン)でできている、と
何かしらの空間を考えているとき：
埋め尽くされることが重要な場合があるとする：
データ構造だと、「何が埋め尽くし」？？：
埋め尽くしの意味は(まだ)わからないけれど：
何かしら、「壊れずに安定な」もの、「どんどん拡大しても大丈夫な」もの、というイメージ：
そんなものに意味があったとして、その元素は、「ルール」に相当
少ないルールで安定なものを作る
ルールに遊びを入れるとすると、準結晶(こちら)とかも？
埋め尽くし(空間充填(Tessellation))
- 高次元化
- 非ユークリッド化
Honeycomb structure
List of uniform tilings
k-Uniform tilings
n-Uniform tilings