円、楕円、楕円関数、一般化 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

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円と三角関数
- 平面にある
- 点(-a,0),(a,0)からの距離の和が一定で、かつa=0
- ２変数で表される
- ２変数は変数を用いて $\cos(t),\sin(t)$ と表される
- 円を表す変数が取る座標を表すのが三角関数、とも言い換えられる
- 単位円の四分の一弧長が $\frac{\pi}{2}$
- 単位円の面積が $\pi$
- 三角関数は周期 $2\pi$ を持つ１変数１周期の実関数
三角関数と指数関数
- $e^{ix}=\cos(x)+i \sin(x)$
- $e^{z + 2\pi i } = e^z$ なので、指数関数は周期 $2\pi i$ を持つ１変数１周期関数
円と楕円
- 円は楕円の特殊形
- 点(-a,0),(a,0)からの距離の和が一定なのが楕円
- $a=0$ という特別な楕円が円
楕円・双曲線・カッシーニ曲線・アポロニウスの円
- 楕円は点(-a,0),(a,0)からの距離の和が一定
- 双曲線は点(-a,0),(a,0)からの距離の差が一定
- カッシーニ曲線は点(-a,0),(a,0)からの距離の積が一定
- アポロニウスの円は点(-a,0),(a,0)からの距離の商が一定（これは円になる）
- 楕円と双曲線は円錐の切り口、カッシーニ曲線はトーラスの切り口
レムニスケートはカッシーニ曲線の特殊形
- 距離の積が、２定点間の距離の半分の２乗に等しい特殊形がレムニスケート
- レムニスケートは２重周期性を持つ
- レムニスケートの周期平行四辺形は正方形という特殊形
一般２重周期関数とレムニスケート・ヤコビの楕円関数
- 一般２重周期関数は、周期平行四辺形によって特徴づけられる
- ヤコビの楕円関数はその特殊形（長方形）
- レムニスケートの場合は、さらにその特殊形（正方形）
周期性の拡張
- 周期性というのは、有理変換よって不変なこと( $f(\frac{az+b}{cz+d})=f(z)$ )
- 保型関数と呼ぶ
- 多変数の多重周期有理型関数（アーベル関数）へと一般化は進む