ryamadaのコンピュータ・数学メモ

楕円積分

楕円積分は $\int f(x,\sqrt{p(x)})dx$ 、 $p(x)$ は３次または４次の多項式、という形で表されるもののこと
$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ ( $a,b,c,d$ は(相違なる)複素数)によって $\int \frac{dx}{\sqrt{P(x)}}$ で与えられる楕円積分を考える
すべての $\mu$ が0.5なので、四辺形のすべての内角と外角が直角な場合→長方形
長方形の形は、長辺と短辺の比で特徴づけられるが、この比をmodulusと言う
２つの正規形に書き直すことができることが知られている
- ルジャンドルの正規形
  - $\int \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}$
- ワイエルシュトラウスの正規形
  - $\int \frac{dz}{\sqrt{4z^3 -g_2 z - g_3}}$