複素半平面を多角形に写す写像と楕円積分

  • 楕円積分\int f(x,\sqrt{p(x)})dxp(x)は3次または4次の多項式、という形で表されるもののこと
    • とくに、\phi(z)=A\int_{0}^z \frac{dw}{\prod_{i=1}^4 (x-a_i)^{\mu_i}} において、実軸上の[0,1]区間で考えることとして、w=\sin(\psi)と置けば
      • F(k,\theta) = \int_0^{\theta} \frac{d \psi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \psi}} と書き直せて、これはkをパラメタとする第1種楕円積分と呼ばれるもの
    • 似たような積分E(k,\theta)=\int_0^{\theta} \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi} d\psi=\int_0^{\sin \psi} \sqrt{\frac{1-k^2 w^2}{1-w^2}} dwを第2種楕円積分と呼ぶ