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複素半平面を多角形に写像する

数学複素数

参考はこちらの第１章
リーマンの写像定理(こちら)
- 複素平面の上半平面
  - 複素平面 $C$ がある
  - その水平軸は実数直線
  - $C$ の上半分を上半平面 $H$ とする
- 平面をクルリと囲んで内側と外側に分けるような線をジョルダン曲線という(こちら)
  - 囲まれた内側をジョルダン領域と呼ぶ
- 上半平面を任意のジョルダン領域に対応付ける写像があって、そのとき、ジョルダン曲線は複素平面の実数直線に対応づける
- このような写像に等角写像(こちら)となるものもある
Schwarz-Christoffel mapping(こちら)

- - こちらの図
- 上半平面に対応付けるジョルダン領域がn角形のとき、次のような写像が等角写像である
  - $\phi(z)=A\int_{0}^z \frac{dw}{\prod_{i=1}^n (w-a_i)^{\mu_i}} +B$
  - ただし、以下を満足する
    - $a_i$ は実軸上の点(実数)であって $a_i < a_{i+1}$
    - $\mu_i$ は第 $i$ 番頂点の外角を $\mu_i \pi$ と表すような変数( $\mu_i=0.5$ のとき、この頂点の内角と外角はともに直角)
    - n角形の第 $i$ 番頂点と第 $i+1$ 番頂点とを結ぶ辺が実軸の $a_i$ と $a_{i+1}$ を結ぶ線分に対応する
- 特殊な場合
  - 、、のとき
    - 多角形は長方形
  - 写像は
    - $\phi(z)=\int_{0}^z \frac{dw}{\prod_{i=1}^4 (w-a_i)^{\mu_i}}=\int_0^z \frac{dw}{\sqrt{(1-w^2)(1-k^2w^2)}}$
  - これは楕円積分と呼ばれる形式になっている