2012-02-14

自分なりのHaskellと圏論

Haskell 圏論

以下の２つを書き直しているだけ
- Haskellと圏論(Wikibooks)
  - これの噛み砕き版(こちら)
Haskellと圏論
- Haskellが圏である
  - Haskellを成り立たせているものを圏論の言葉で語ることができる
- Haskellは圏を作ったり、扱ったりすることができる
  - Haskellが新たなデータ型を作ると、それはそのデータ型で閉じた圏を作ることに相当する
  - また、圏と圏とを対応付ける関手もある
Haskellが圏であることについて
- Haskellは(純粋)関数型言語(Lとする)
- 純粋関数型言語Lに対して、圏C(L)を考える
- Lというものを成り立たせてあるものが、圏の構成要素に対応させる、という意味
  - 対応させられるかさせられないか、が問題となるが、「純粋関数型言語Lは対応させられる」(関数型ではない言語は対応させられない)
(純粋)関数型言語であるHaskellが圏として扱えるので、Haskellを成りたたせているもののすべてを、圏の構成要素に対応させてみる
まず、純粋関数型言語の条件を挙げ、Haskellがその条件をどのように満たしているかを見てみる
- 純粋関数型言語
  - プリミティブなデータ型を持つ
  - 各データ型に定数がある
  - 関数があって、それは、型を型へとの操作である
  - 構成子があって、それは、新たな型を、既存の型と操作とを使って作り出すことができる
- Haskell
  - プリミティブなデータ型を持つ。それはInt,Char,Doubleなど基本的なデータ型
  - 各型には、定数がある。
  - 関数は「型のある引数をもらって型のある返り値を返す」という型から型への操作である
  - 新たなデータ型を定義することができる
次に、圏の構成要素とHaskellという純粋関数型言語の構成要素とを列挙し、その対応関係を確認する
- 純粋関数型言語Lの圏C(L)の構成要素
  - C(L)は対象を持つ。Lの型をC(L)の対象とする
    - HaskellではIntやDoubleや(Int -> Int)など
  - C(L)は射を持つ。Lの操作(関数)をC(L)の射とする
    - C(L)の射はソースとターゲットを持つ。Lの操作(関数)はある型をある型へと結ぶ。ソースとターゲットはLの型であり、C(L)の対象である
      - Haskellの関数のすべて
  - C(L)の射は合成できる。射と合成してできる射には、ルールがある。Lの操作(関数)は合成できる。また、元の操作(関数)と合成してできる操作(関数)とにはルールがある
    - Haskellでは関数の結合を(.)がある
  - C(L)を考えるときには、恒等射が必要である。Lにも恒等関数がある
    - Haskellでは id :: a -> aが恒等関数
  - C(L)は圏と圏とを対応付ける関手を持つ。Lのデータ型(新たに作り出したデータ型のこと？、新たな型を含めてすべてのデータ型のこと？おそらく前者)で出来上がっているものも圏として扱えるが、このようにLが持つ２つの圏の対応付けができる
    - Haskellでは型構築子 data が新規に作る圏の対象(型)を作り、fmap関数が元からある圏の関数を新しい圏の関数として作る。従って型構築子とfmap関数とで、関手ができている
      - javaの継承みたいなこと？？
- モナドは？
  - モナドとは、ある圏から、その同じ圏への関手のことらしい
  - 出発点に着地しているので、同じ世界だけれども、違う対象の取り上げ方と、その対応付け方に変わってくるのだろう(か？）
  - それをやるときに、関手の作りにだけ注意すれば、新しい圏(実は同じ世界だが、ルールが違う)に新たなルールの体系を作る必要がない(なくて便利)ということなのか・・・
    - - こちらも参照