ryamadaのコンピュータ・数学メモ

関数とその一次微分

MIKU 微分方程式

こちらの拡張話題
$f=\int_{t_0}^{t_1} \frac{dg(t)}{dt} + k g(t) dt$ が最小になるような周期関数 $g(t)$ は？
周期関数なので、 $g(t_0)=g(t_1)$ となるような $t_0,t_1$ を取ることができる
$\int_{t_0}^{t_1} \frac{dg(t)}{dt}dt = g(t_1)-g(t_0)=0$ なので
$f=\int_{t_0}^{t_1} k g(t) dt$ となる
ここで、 $t_0 ... t_1$ での平均 $m=\frac{\int_{t_0}^{t_1} k \times g(t) dt}{t_1-t_0}$ とすれば
$f=\int_{t_0}^{t_1} k\times g(t) dt = m(t_1 - t_0)$
$f$ が連続ならば、 $t_0,t_1$ は $g(t_0)=g(t_1)=m$ となるようにとれて、この方がわかりやすいかもしれない
じゃあ、 $f_2=\int_{t_0}^{t_1} \frac{d^2g(t)}{dt^2}+k_1 \times \frac{dg(t)}{dt} + k_0 \times g(t) dt$ を考えると・・・
さらに、 $f_n=\int_{t_0}^{t_1} \sum_{i=0}^n k_i \times \frac{d^i g(t)}{dt^i} dt$ では？
周期関数の場合、 $i \ge 1$ の項は $\frac{d^{i-1} g(t_1)}{dt^{i-1}}-\frac{d^{i-1} g(t_0)}{dt^{i-1}}=0$ である
k次微分とその関数の曲がり具合の関係と、k次モーメントの関数の形への影響とは、何か関係するだろうか？