てふの練習 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

てふの基本
- 下の写真のように書くと、はてなブログでは数式が現れます
- '|'や'<'、'\','[',']','{','}'は特別な意味を持った記号なので、それらに注意して書きます
- 'てふ'記法を抜き出したものも併せて示してあります

$\mathbf{X}=\{x_1,x_2\}$
$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2\\ c_3 \end{pmatrix}$
$X$

[tex:\mathbf{X}=\{x_1,x_2\}]
[tex:\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2\\ c_3 \end{pmatrix}]
[tex:X]

$k$ 次元楕球の座標 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_k)$ は

$\sum_{i=1}^k ((\frac{x_i}{a_i})^2)=K^2$

\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_k)
\sum_{i=1}^k ((\frac{x_i}{a_i})^2)=K^2

今、この $k$ 次元楕球上の点集合のうち、次の連立方程式を満足する点の集合 $\mathbf{P}$ を考えます

$\forall \mathbf{p}=(p_1,p_2,...,p_k) \in \mathbf{P}$
$\left \{ \begin{align} \sum_{i=1}^k m_{1,i} p_i = 0 \\ \sum_{i=1}^k m_{2,i} p_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k m_{j,i} p_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k m_{t,i} p_i = 0 \end{align} \right \}$

[tex:\forall \mathbf{p}=(p_1,p_2,...,p_k) \in \mathbf{P}]
[tex:\left \{ \begin{align} \sum_{i=1}^k m_{1,i} p_i = 0 \\ \sum_{i=1}^k m_{2,i} p_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k m_{j,i} p_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k m_{t,i} p_i = 0 \end{align} \right \}]

ここで、 $m_{j,i}$ を成分とする $t\times k$ 行列の行ベクトルは、ある $k \times k$ 回転行列 $\mathbf{M}$ の行であるように取れるとします→これがそのようには取れない、のでは…
一方、 $z_i = \frac{x_i}{a_i}$ なる $\mathbf{z}=(z_1,z_2,...,z_k)$ について考えることにします

$\sum_{i=1}^k ((\frac{x_i}{a_i})^2)=K^2$ であるから
$\sum_{i=1}^k z_i^2=K^2$ です

$\mathbf{x}$ は $k$ 次元楕球面上の点でしたが、 $\mathbf{z}$ が満足する式は、 $\mathbf{z}$ が $k$ 次元球面上の点であることを表しています
$\mathbf{P}$ を $\mathbf{x} \to \mathbf{z}$ の置き換えをして $\mathbf{P} \to \mathbf{Q}$ とすることにします

$q_i=\frac{p_i}{a_i},p_i=a_i q_i$ です

$\mathbf{Q}$ は球面の部分を表しています。この $\mathbf{Q}$ 上の点 $\mathbf{q}$ は

$\sum_{i=1}^k q_i^2=K^2$ を満足するとともに

次の連立方程式も満足するでしょう

$\left \{ \begin{align} \sum_{i=1}^k m_{1,i} a_i q_i = 0 \\ \sum_{i=1}^k m_{2,i} a_i q_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k m_{j,i} a_i q_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k m_{t,i} a_i q_i = 0 \end{align} \right \}$

$\mu_{j,i}=m_{j,i}a_i$ とすれば

$\left \{ \begin{align} \sum_{i=1}^k \mu_{1,i} q_i = 0 \\ \sum_{i=1}^k \mu_{2,i} q_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k \mu_{j,i} q_i = 0 \\ ... \\ \sum_{i=1}^k \mu_{t,i} q_i = 0 \end{align} \right \}$ となります

したがって、回転(?)行列 $\mathbf{M}$ の第 $i$ 行を $a_i$ 倍した行列 $\mathbf{M'}$ は $\mathbf{M' q}$ の $t$ 個成分は0となる