2011-11-20

必ず起きることは、いつまでに起きる？２

確率 R polynom

こちらでこんな計算をしている
昨日も少し考えた
一様分布のp値がたくさん集まった状況はマルチプルテスティングの状況なので、この課題は少し、丁寧に追いかけることにする
これを追いかけていくと、期待値がネイピア数であることがわかる
こんな風に考えよう
今、n個の0-1の一様乱数があって、その和を考えている
和がTになる確率を $P^{(n)}(T)$ と表すことにする
$n=1$ のとき、 $P^{(1)}(T)=1$ である
のときは、１つ目の変数の値がで、二つ目の変数の値がである確率である
- $0 \le T \le 1$ のとき $S_1$ の値の取り得る範囲は $0\le S_1 \le T$ であり
- $1 \le T \le 2$ のとき $S_1$ の値の取り得る範囲は $T-1 \le S_1 \le 1$ である
- それぞれの場合にわけて考えて
- $0 \le T \le 1$ のとき $P^{(2)}(T) = \int_{0}^{T} P^{(1)}(S_1) \times P^{(1)}(T-S_1)d S_1$ であり
- $1 \le T \le 2$ のとき $P^{(2)}(T) = \int_{T-1}^{1} P^{(1)}(S_1) \times P^{(1)}(T-S_1)d S_1$ である
- ここで $P^{(1)}(S_1)=1,P^{(1)}(T-S_1)=1$ であるから、
- $0 \le T \le 1$ のとき $P^{(2)}(T)=T$
- $1 \le T \le 2$ のとき $P^{(2)}(T)=2-T$ となる
このように、 $P^{(n)}(T)$ を考えるときには、１刻みで式が変わることがわかる
について一般的に考える前に、に限定して考えよう
- 一般化はこちら
- この範囲では、 $n=k+1$ のときに和がTになる確率は $k$ 個の変数の和が $0 \le S_k \le T$ であって、 $k+1$ 番目の変数が $T-S_k$ である確率となり、それを考えるとき $0 \le S_k \le 1$ の範囲に限定して考えればよいから、上述した、１刻みの場合わけを無視することができる
- すると $P^{(k+1)}(T)=\int_{0}^T P^{(k)}(S_k) \times P^{(1)}(T-S_k) d S_k$ となって、これは $P^{(k+1)}(T)=\int_{0}^T P^{(k)}(S_k) \times 1 d S_k$ であるから
- $P^{(1)}(T)=1$
- $P^{(2)}(T)=\frac{1}{1}T$
- $P^{(3)}(T)=\frac{1}{1\times 2}T^2$
- $P^{(k)}(T)=\frac{1}{(k-1)!}T^{k-1}$
ここでの値がある値より大きくなる確率は
- $Q^{(k)}(T \ge a) = \int_{a}^{k} P^{(k)}(T) dT=1-\int_{0}^a P^{(k)}(T) dT=1-P^{(k+1)}(a)=1-\frac{1}{(k)!}a^{k}$ である
では、回目にして、初めて和がより大きくなる場合、というのは回目までは、和が以下であって、かつ、回目により大きくなる場合である
- それは $R^{(k)}(a)=Q^{(k)}(T \ge a) - Q^{(k-1)}(T \ge a)=-\frac{1}{(k)!}a^{k}+\frac{1}{(k-1)!}a^{k-1}$
では、何回目を期待するのがよいかと言えば
- - $k\times R^{(k)} + (k+1) \times R^{(k+1)}$ を考えると
  - $k(-\frac{a^k}{k!}+\frac{a^{k-1}}{(k-1)!}) + (k+1)(-\frac{a^{k+1}}{(k+1)!}+\frac{a^{k}}{(k)!})$ の $\frac{a^k}{k!}$ の項に着目すると、差し引きで $\frac{a^k}{k!}$ １個分が残るから
  - $\sum_{k=1}^{\infty} k\times R^{(k)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!}$ となって、これは指数関数の定義(のようなもの)で $\sum_{k=1}^{\infty} k\times R^{(k)}=e^a$ (こちら))