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- 差分を微分に置き換える
- 話の展開は第1章と同じ
- 表記、autonomous/non-autonomous, 線形・非線形、homogeneous/inhomogeneous
- 解は指数関数と三角関数が基本
- 定数係数線形同次微分方程式の一般解は固有値の算出を経る
- 固有値の算出には、対応する行列を作って固有値分解する話が出る
- 解の0への収束条件(安定性条件)は、差分のときと違って
- すべての固有値が負であるか、負の実部を持つとき
- 言い換えると固有値が複素平面の左半分内に存在すること
- その判定条件が"Routh-Hurwitzの判定基準"(こちら)
- 高階方程式は、1階の連立方程式に変換
- 1階連立微分方程式は、行列の指数関数で値の計算ができる
- 行列になっているので、固有値の様子は、トレースと行列式の値によって質的に分類することが可能となる
n<-3
M<-matrix(rnorm(n^2),n,n)
eigen.out<-eigen(M)
V<-eigen.out[[2]]
U<-solve(V)
t<-seq(from=0,to=1,length=100)*10
X<-matrix(0,length(t),n)
X[1,]<-rnorm(n)
for(i in 2:length(t)){
X[i,]<-V%*%diag(eigen.out[[1]]^(t[i]-t[1]))%*%U %*%X[1,]
}
library(rgl)
plot3d(X[,1:3])
par(ask=TRUE)
plot(as.data.frame(X))
matplot(X,type="l")
- 定数係数同次高階常微分方程式は、1次線形連立微分方程式にできる
- 同次なので、原点は定常状態である。この周囲の安定性を考える
- 安定性は、固有値の具合で決まる
- 2次元線形系の場合には、平面(相平面)でこの様子を見ることができる
- 安定性の分類
- パターン分類
- 安定な完全ノード(2つの固有値が(実数で)等しいとき)
- 安定な不完全ノード(2つの固有値が実数で、ともに非負であるか、ともに非正である時)
- サドル(2つの固有値が実数で符号が異なるとき)
- 安定スパイラル(2つの固有値が複素数で、その実部が負のとき)
- センター(2つの固有値が複素数で、その実部が0のとき)
- 負安定スパイラル(2つの固有値が複素数で、その実部が正のとき)