駆け足で読む『生物数学入門』第２章　非線形差分方程式：理論と例

目次のページはこちら
非線形方程式の解に関する重要なこと
- 平衡解と周期解、それらの解の安定性
- 局所的安定性と大域的安定性
平衡解・定常解・固定点
- $x=f(x)$ , $X=F(X)$ (連立の場合)
周期解
- $x=f^m(x)$ , $X=F^m(X)$
- 周期軌道: $x,f(x),f^2(x),...,f^m(x)=x$
局所的安定の表現
- 局所安定の $\epsilon,\delta$ 表現
- 局所吸引的(アトラクタ的)
- 局所漸近安定
  - 指数的減衰収束
  - 振動幅減衰的収束
- 双曲型平衡/非双曲型平衡
  - 双曲型平衡では１次微分が、非双曲型平衡では、さらに高階の微分が、安定の様子に関する情報を提供する
大域漸近安定性
- すべての初期条件に対して、解が平衡に近づくこと
平衡の安定性とパラメタ値
- 差分方程式を作っているパラメタを用いて平衡・安定性を評価すると、平衡・安定性の特徴が崩れるパラメタ値の存在の有無がわかる
- 平衡・安定性に関して質的に変化するようなパラメタ値があれば、それは、「分岐値」である
- 平衡・安定性がどのようなものからどのようなものに変化するかによって、名前を付ければ
  - サドル・ノード(あるいはタンジェント)
  - ピッチフォーク
  - トランスクリティカル
  - 周期倍(フリップ)
１階の差分方程式系(連立差分方程式)
- 局所安定性を考えるときには、１階微分を取り出して、線形近似をしてその収束性・安定性を調べることもよい
- 安定しているから、 $X(t+1)=JX$ が成り立つ。ここでJは差分方程式の１階微分による線形近似の関係(推移)行列(ヤコビアン)
- この形になれば、固有値分解であって、固有値の絶対値の最大値が１未満で収束。