ぱらぱらめくる『かたち〜自然が創り出す美しいパターン〜』

かたち: 自然が創り出す美しいパターン

• 1. ものの形　パターンと形態
  • パターンがある、形がある
  • 生物学的な形？
  • 進化・遺伝・遺伝子
  • 数学・モデル
• 2. ハチの巣の教訓　泡で築く
  • 多面体とオイラーの公式→こちら
    • 頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2
    • 穴あきの場合は穴の数gを使ってオイラー標数
      • 頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g
    • 次元を一般化して多胞体にするとシュレーフリのn次元公式→こちら
      • 「n次元の図形（単体的複体）のm次元の辺の数を とするとき交代和」は
        • 
      • オイラー標数(こちら)
    • こちらやこちらやこちらやこちらも参考
  • Betti数で多次元空間を特徴づける→こちら
    • ここでもメモしていた…
    • R package "mfr"があるらしい(こちら)が、Windows版がない？？？
    • グラフとBetti数(こちら)
    • 関連事項：グラフのトポロジー→こちら、そしてGenus→こちら
    • フラーレン(炭素骨格が作る閉じた立体構造)は、オイラー標数を考えれば、６角形の中に５角形を持つことがわかるが、化学者がフラーレンの骨格に気付いた後でオイラー標数との関係に気付いたらしい。数学を勉強しておくことは、こういうときに使えるようにするためでもあるのか…
  • 泡・表面張力がハチの巣の６角形の並びができることを説明する
  • 同じ体積の「球」同士の接面は、平面になる
  • ボロノイ図(こちら)のように

• • 細胞など、相互に同じ階層に属する多数要素が、ボロノイ図のような構造をとる場合と、とらない場合とは、多数要素の「対等関係」が維持されているか、維持されていないかで決まるということか。
  • 泡による設計は「節約」
  • 空間を埋める安上がりなやり方
    • 極小曲面→こちらやこちらやこちら
    • 海綿の構造、滑面小胞体の構造、蝶の鱗粉、ウニの外骨格、サンゴ…→双曲幾何も？？？(こちら)
      • 共連続構造(こちら)
• 3. 波を起こす　試験管の中の縞模様
  • BZ反応・化学シーソー
  • 反応拡散系
  • ロトカの生態増減周期
  • エントロピーと場合の数
  • 要素がたくさん、それぞれが実行、結果として集団にパターンや周期ができる
  • 化学走性・粘菌
• 4. 体に書かれたもの　隠れる・警告する・擬態する
  • 自己複製の役割
  • 活性因子・抑制因子系
  • 発生源とはけ口(シンク)
• 5. 野生のリズム　結晶化する「群れ」
  • 生態、周期、相互作用
  • 初期値に敏感
  • 周期・倍周期・カオス
  • 非常に多い(ほぼ無限)〜アボガドロ〜(化学)か、有限〜離散的〜(生物)か
  • 有限・離散では、「ドリフト・アウト」したり、「濃淡」ができたりする
  • 「ドリフト」「濃淡」はダイナミックな動きのトリガーとなり得る
• 6. 庭の草花はどう育つか〜ヒナギクの数学
  • らせん
  • フィボナッチ数列
  • もっと一般的に、今とその前とを足して次の数を決める
  • 黄金比
  • 第二の活性因子・抑制因子系
  • パターンができることは織り込み済み。どんなパターンができるかは、初期値に敏感
• 7. 胚を展開する
  • 節・縞模様、モルフォゲン
  • 勾配形成と勾配を持ちいた頑健性