完全分割に成功するときのこと

MIKU 分岐木

こちらで分割の話と血流のことがコメントされている
安定供給の観点から、いい具合の分配が大事で、そのことと、最適な分割(たとえば赤血球数のそれ）とかに関係しそうな話題ではある
では、その関係しそうな「関係」はイメージだけのものなのか、自然数の分割と本当につながるものなのだろうか
それに答えがでるかどうかわからないけれども、少し２分割について考えてみる
資源が２等分されるとする
２分岐木で考える
- ２等分が階層的に繰り返されるとする
- 階層深度はまちまちであるとする
- ２分岐木ができる
- 出来上がった２分岐木の葉ノードは、 $\frac{1}{2}$ の(分岐深度)乗の値を持つとする
- 整数で考えたければ、最深の葉ノードの値を１として、それに応じてすべての葉の値を定めることとする
- このようにすると、葉にはいろいろな値が登場する
- このようにして作った数のセットは必ず完全な分割ができる
- ここで $\frac{m}{n}\sim 1$ （ $m$ は葉の値の２進法表記での桁数の何か(何か、というのは、テキストでは"typical integer"とされていたけれど、本当のところは何なのかがあいまいだから。1から $2^m$ までの一様乱数を取ったときに"typical integer"をmと呼ぶというルールもあるらしいけれども)であって、 $n$ は数の個数)が、うまく分割できるようになる条件の相転移の値であるという
- ２分岐木で言うと、 $m$ はtypicalな分岐深度だろう。 $n$ は葉の数だろう
- ２分岐木を作りつつ作った数のセットは「必ず完全分割ができる」わけで、 $\frac{m}{n}$ とは関係ない
- 逆に言えば、「勝手に作った数のセット」は「２分岐木の葉の値のセット」という「理想状態」から逸脱しているがために、「完全分割するには付加条件が必要」であり、その条件を反映しているのが $\frac{m}{n$ ]ということであろう
別の方法で考える
偶数を等分する
- それぞれの、等分された値を自然数の和に分ける
- ある値を自然数の和に分ける、その分け方は整数分割の場合の数として知られる数
- 今、ある偶数 $2k$ を $k+k$ に分け、 $k$ を整数分割するとする。そうすると、1つに分ける(〜分けない)場合が１通り、２つに分ける場合がk-1通り、・・・と数えあがられる。その数え上げた数の和が整数分割の数である
- kの整数分割のやり方を $P$ とすれば、２つのkの分割の組み合わせは、 $2k$ を $k+k$ に分けている「完全分割の成功をもたらすような数のセット」を与える
- このうまく２等分できる数のセットの構成要素数が $n$ であり、 $2k$ と $n$ には量的関係がありそう
- その量的関係は「２等分」が成功するかどうかの関係ではなく、どれだけ「２等分」する場合が列挙できるか、である
２つに分ける現象についても少し考える
- 細胞分裂はなるべく似通った２つを作ることと考えよう
  - ミトコンドリアの配分数がランダムに決まるとすると、何匹のミトコンドリアを分けることにすれば、「そこそこのばらつき」に納めることができるだろうか
  - 逆に言えば、ミトコンドリアの１細胞あたりの数は、適当に２娘細胞に分けたときに生じるミトコンドリア数のばらつきが許容できる程度の機能差しか生じないような値になっているだろう
- 有性生殖の親から子への遺伝子伝達も「持ちうるものの半分」を渡す現象である
  - 重要な形質を支配する遺伝子に多様性(多型)があって、２アレルの機能差があるとする
  - １遺伝子によって支配されるとき、子に伝達されるアレルはどちらか片方なので、その機能差がそのまま伝わる
  - 多数の遺伝子によって支配されるとき、どの遺伝子のどのアレルが、というのは支配できないが、伝達される機能はおおよそ半分になる
  - この遺伝子数と遺伝子ごとのアレルの機能差とによって、「伝達される機能の量の確率分布」が決まるが、その確率分布で「おおかたの場合」に相当する範囲はその遺伝子セットが伝える機能に許容される「ブレ幅」に対応してくるだろう。適応仮説に則れば