スカラー量が定義された空間

  • こちらから
  • 分水嶺について
  • 2次元空間に有限な領域(陸)が定義されている
  • 陸には一意なスカラー量が定義されている
  • スカラー量の勾配に従って、陸のすべての点は、陸の周辺境界もしくは、内陸部の閉じた曲線に到達する
  • 「到達する」点の集合を「ゴール」と呼ぶこととし、「ゴール」を有限個のカテゴリに分割することによって、陸のすべての点を「ゴール」別に分類する
  • このようにして分類された領域の境界を「分水界」と呼ぶ
  • より狭義には、「内陸部」のゴールは「溢水」することにより、周辺部のゴールに再定義することもできて、それを分水界とすることもある
  • 発展
  • 生物学的イメージ
    • 分水界は、「分かれ道」
    • 状態分岐(発生・発病、その他)に関することと考えれば、「ゴール」は最終形質、「トンネル」は介入による状態変化の導入(治療)とか
    • トポロジー的空間にすれば、安定状態・定常状態なども定めやすい
  • 別のときに考えたことはこちら
    • 陸という2次元空間上の曲面を考えず、水にとっての、地上という3次元空間を相手にする考え方
    • このモデルを3次元立体格子で考えてみよう
      • 3次元立体格子を作る
      • 格子は立方体を作る
      • 立方体は「浸透度0\le p \le 1」というスカラー量を持つ
      • 立方体内の水は、上下・左右・手前奥の6方向と連結していて6方向へと「ランダム」に進みうる
      • ただし、進むときに、ルールがある
        • ある立方体に居る、「虫」の行動して考えるとわかりやすい
        • 「下」が1番好き、「上」は一番嫌い、「水平4方向」は、「下」よりも嫌いで「上」よりも好きで、「水平4方向」同士に優劣はない
        • まず、「下」に行くことを考える。「下」の立方体の浸透度が1ならば、すべて「下」へ行く。浸透度が0ならば、まったく「下」へはいけない。0から1の間の値ならば、その数の割合だけ、「下」へ行く
        • 浸透度pに対して、下へ行けなかった1-pの分は、「水平4方向」へ進むことを考える。4方向の浸透度をp_1,p_2,p_3,p_4とする。\sum_{i=1}^4 p_iが4方向合算の「進みやすさ」。これを全体として、\frac{p_i}{\sum_{i=1}^4 p_i}の比率で4方向に進む。ただし、\sum_{i=1}^4 p_i=0のときには、(分母が0となることにも示唆されるように)、「水平4方向」には進めないから、「水平4方向」に進むオプションは諦めて、最後の方向である「上」へ行く。「上」の浸透度が0でなければ、「上」へ行く。「上」の浸透度が0ならば、「上」へも行けない。どん詰まり。ただし、「ここ」には、水が到達してきたのだから、「上下・水平4方向」すべての方向の浸透度が0ということは、そこには「虫」が存在しえないので、気にしなくて良い
    • 一般に、浸透度を等しくする物質が3次元空間で連続して存在している。
      • たとえば、空気という物質は、「地上」を連続して覆っている
      • たとえば、海抜0メートル以下は「浸透度0」の水塊が覆っている(陸地内部の海抜0メートルにも水塊が及んでいる〜陸は水面に浮いている、と考えてもよい)
      • 陸は、浸透度が空気よりも小さく、水よりも大きい部分で、浸透度を同じくする塊は地層を形成する
      • 『本』で考えたのは、陸が「浸透度0の一様な塊」である、という仮定である
      • 『本』で登場した「トンネル」は、浸透度1の「地層」である