多角形

• ２次元平面に単位円を描く
• 単位円上の点を２つ、第一象限内に取る
• この２点を対角線の端点とし、すべての辺がデカルト座標軸に平行であるような長方形を作ろう
• このような長方形の頂点の数は４個で、そのうち２個は単位円上にあり、残りの２個のうち、１個は単位円の内側に、最後の１個は単位円の外側にある
• ４個の頂点のそれぞれと原点とを結ぶ線を対角線とする長方形(２辺はデカルト座標の２軸に対応)の面積を考える
• 一番面積が大きいのは、単位円の外側にある頂点の作る長方形である
• 第一象限に限ったけれど、限らなくてもよさそうだ
• これをk次元に一般化できるだろうか？
• 上記のルールで単位球上の点を頂点とする多次元凸包を取ったとき、どの点を取ると、それが「体積」を最大にする点になるだろうか？
• さて、原点を中心とした球上の点の場合には、こうなるとして、
  • 中心が原点でないとき
  • 中心は原点だけれど、楕球のとき
  • 中心は原点だけれど、さらに、複雑な形のとき
  • 中心が原点ではなくて、楕球のとき
  • 中心が原点ではなくて、さらに、複雑な形のとき
• には、どうなるだろうか。
• 適当な「最大体積をもたらす点」がわかる「簡単な条件」はなんだろうか？
• 球上の点ではなくて上の点だったら、どうなるだろう？