貼り合せ

Three-Dimensional Geometry and Topology (Princeton Mathematical Series)

Three-Dimensional Geometry and Topology (Princeton Mathematical Series)

  • 冒頭に正方形の向かい合う2辺同士を貼り合せてトーラスを作る話と、6角形の向かい合う2辺同士を貼り合せてトーラスを作る話が出てくる
  • 6角形の貼り合せは、軽サイズの赤、青、緑のところで切り開いてやると、赤が向かい合う2辺に、青も向かい合う2辺に、緑も向かい合う2辺になる
  • 六角形の場合

http://www.genome.med.kyoto-u.ac.jp/StatGenet/testRY20110208/rokkakkei.png

  • 四角形の場合

http://www.genome.med.kyoto-u.ac.jp/StatGenet/testRY20110208/sikakkei.png

  • 4角形・6角形の辺を貼り合わせて閉じている
  • 辺を「無限遠」をみなすと、貼り合わせることで、無限の空間が有限空間になる
  • 無限空間に無限遠に対応する点を与える作業をコンパクト化(compactification(Wiki))と言うけれど(言うらしいけれど)、「辺」が合わさっているところは「無限遠
  • 四角形から作ったトーラスは1点で交わり、それが「無限遠
  • 六角形から作ったトーラスは、3つの辺ペアが、すべて2点で交わっている。これが「無限遠」?
library(rgl)
# まず、トーラスをうっすらと描こう
R1<-5
R2<-2

NT<-1000
T1<-seq(from=0,to=1,length=NT)*2*pi*100
T2<-seq(from=0,to=1,length=NT)*2*10*100

Xt<-R1*cos(T1)
Yt<-R1*sin(T1)
XT<-Xt+R2*sin(T2)*cos(T1)
YT<-Yt+R2*sin(T2)*sin(T1)
ZT<-R2*cos(T2)
# 『6角形』を描こう
N<-1000
t1<-seq(from=0,to=1,length=N)*2*pi
t2<-seq(from=0,to=1,length=N)*pi
x<-R1*cos(t1)
y<-R1*sin(t1)

X<-x+R2*sin(t2)*cos(t1)
Y<-y+R2*sin(t2)*sin(t1)
Z<-R2*cos(t2)

X2<-X[1]+R2*sin(t1)*X[1]/R1
Y2<-Y[1]+R2*sin(t1)*Y[1]/R1
Z2<-R2*cos(t1)

# トーラスと『6角形』を絵にしよう
XX<-c(XT,X,X2)
YY<-c(YT,Y,Y2)
ZZ<-c(ZT,Z,Z2)
xlim<-ylim<-zlim<-range(XT,YT,ZT,XX,YY,ZZ)
plot3d(XX,YY,ZZ,col=c(rep(gray(0.5),NT),rep(2,N),rep(3,N/2),rep(4,N/2)),xlim=xlim,ylim=ylim,zlim=zlim)
library(rgl)
# まず、トーラスをうっすらと描こう
R1<-5
R2<-2

NT<-1000
T1<-seq(from=0,to=1,length=NT)*2*pi*100
T2<-seq(from=0,to=1,length=NT)*2*10*100

Xt<-R1*cos(T1)
Yt<-R1*sin(T1)
XT<-Xt+R2*sin(T2)*cos(T1)
YT<-Yt+R2*sin(T2)*sin(T1)
ZT<-R2*cos(T2)
# 『4角形』を描こう
N<-1000
t1<-seq(from=0,to=1,length=N)*2*pi
t2<-seq(from=0,to=1,length=N)*0
x<-R1*cos(t1)
y<-R1*sin(t1)

X<-x+R2*sin(t2)*cos(t1)
Y<-y+R2*sin(t2)*sin(t1)
Z<-R2*cos(t2)

X2<-X[1]+R2*sin(t1)*X[1]/R1
Y2<-Y[1]+R2*sin(t1)*Y[1]/R1
Z2<-R2*cos(t1)

# トーラスと『4角形』を絵にしよう
XX<-c(XT,X,X2)
YY<-c(YT,Y,Y2)
ZZ<-c(ZT,Z,Z2)
xlim<-ylim<-zlim<-range(XT,YT,ZT,XX,YY,ZZ)
plot3d(XX,YY,ZZ,col=c(rep(gray(0.5),NT),rep(2,N),rep(3,N)),xlim=xlim,ylim=ylim,zlim=zlim)