切り口 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで、「曲面」を「平面」で切った交叉部分を扱っている
交叉部分をイメージするために、単純なこと考えよう
円を直線で横切ると２点で交わる(接線とか交わらない場合とか特殊な場合は考えない)
(３次元)球を平面で横切ると円で交わる
こちらの記事に関連付けるには、 $\sum_{i=1}^k x_i^2=1$ (曲面の代表)と $\sum_{i=1}^k x_i=1$ (平面の代表)との交わりとして考えたい
今、 $(1,0,0,...),(0,1,0,0,...),(0,0,1,0,...)$ のような格子点はこの交わり上の点であることは明らかである
これらの点は、平面上の点 $(\frac{1}{k},\frac{1}{k},...)$ という点から等距離にある点である
また、この平面はk-1次元空間全体であるので、この自明な点は $(\frac{1}{k},\frac{1}{k},...)$ を中心として、半径が $\sqrt{(1-\frac{1}{k})^2+(k-1)\times (\frac{1}{k})^2}=\sqrt{\frac{k-1}{k}}$ な、k-1次元球上の点である
原点から中心までの距離は $\sqrt{k\times (\frac{1}{k})^2}=\sqrt{\frac{1}{k}}$ であるので、ぐるりと動かして、中心を $(0,0,...,0,\sqrt{\frac{1}{k}})$ に持ってこよう
そうすると、第k成分が $\sqrt{\frac{1}{k}}$ であることを除けば、k-1次元空間の原点を中心とする半径 $\sqrt{\frac{k-1}{k}}$ の円が少なくとも「曲面」と「平面」との交わりを含む形であることがわかる
さて、このぐるりと回して第k成分を $\sqrt{\frac{1}{k}}$ としたk-1次元球上の点は第1から第k-1成分までの座標は $\sum_i^{k-1}x_i^2=\frac{k-1}{k}$ を満足している
また、このk-1次元球はそもそも、 $\sum_i^k x_i=1$ という平面上に描いた球だったから、もとの座標で考えれば $\sum_i^k x_i=1$ を満足している点の集まりである
したがって、 $\sum_i^k x_i^2$ というk次元球と $\sum_i^k x_i=1$ というk次元平面との交わりは原点からの距離が $\sqrt{\frac{1}{k}}$ な点を中心とする、半径 $\sqrt{\frac{k-1}{k}}$ のk-1次元球であることがわかる