ryamadaのコンピュータ・数学メモ

2011-01-27

子供と遊びを始めるとき

R ゲーム

「(簡単な)ゲームをしよう！」
「んーと、じゃあ、○○ちゃんが３(k)回勝つまでね」
よくある光景である
さて、ゲームを何回やることになるのだろうか
○○ちゃんの勝率 $p$ とする
$N$ 回目に「おわりー」となるとする
$1,2,...,N$ 回までに「おわりー」とている確率は、 $N$ 回終わった段階で、○○ちゃんが、まだ $1,2,...,k-1$ 回しか勝っていない場合を除いたすべての場合の確率の和だから
$Q(N)=1-\sum_{i=0}^{k-1} _N C_i p^i(1-p)^{N-i}$ である
$N$ 回目に「おわりー」となるのは、 $N-1$ 回目で「おわりー」とならずに、 $N$ 回目で「おわりー」となった場合なので $Q(N)-Q(N-1)$ である
このあたりは、マルチプルテスティングの考え方と同じ(たくさんのp値がある。最小のp値がt以下である確率と最小のp値がt+delta以下である確率を考えて、その差が最小p値がtである確率…こちら、など)

maxN<-20
n<-4
p<-0.3
# N回目が終了してもまだ「おわり」になっていない確率
ret<-rep(0,maxN)

for(i in 1:maxN){
	tmp<-0
	for(j in 0:(n-1)){
		tmp<-tmp+choose(i,j)*(1-p)^(i-j)*p^(j)
	}
	ret[i]<-1-tmp
}

# N回目で「おわり」になる確率は
P<-diff(ret)

par(mfcol=c(1,2))
plot(P,type="b",main="打ち切り回数ごとの確率")
plot(cumsum(P),type="b",main="打ち切り回数の累積確率")
par(mfcol=c(1,1))