ryamadaのコンピュータ・数学メモ

2011-01-24

位置とその時間微分

偏微分軌道曲線

中心力。太陽の引力による惑星運動。
$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{v}$ :「中心」を中心とした座標 $\mathbf{x}$
$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\mathbf{F}$
中心力は位置座標 $\mathbf{x}$ から中心へ向かうベクトル $-\mathbf{x}$ に比例する
$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\mathbf{F}\propto (-\mathbf{x})$
$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{v}$
$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=(-\mathbf{x})$
これは、 $\mathbf{x}$ と $\mathbf{v}$ との関係が「ＡはＢが大きければその方向に大きくなり、ＢはＡが大きければその反対の方向に大きくなる」ことを表している
これが１次元で起きれば振動する
これが２次元平面で起きれば、２次曲線を描く
これが３次元空間で起きれば、２次曲線軌道を描く
今、このルールを決めている「中心」が定まったとする
ある質点がある位置 $\mathbf{x}$ に観察され、かつ、 $\mathbf{v}$ で運動していることが観察されると、そこに「軌道」が決まり、「軌道上の時間変化」も決まる
惑星と彗星が衝突するのは、２つの異なる軌道があって、その２つの軌道が交点を持ち、その軌道上を運動する物体が同じ時刻にその交点に達するから。逆に言えば、ある時刻に同じ位置にある２つの物体に異なる速度を観察すれば、異なる軌道を選んで分かれていくことを表す。
ルールは $\mathbf{x}$ と $\mathbf{v}$ との関係式
初期値は $\mathbf{x(t=0)}$ と $\mathbf{v(t=0)}$