三葉結び目曲線の保存量 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで三葉結び目をパラメタ表示した
三葉に対称性を持たせることで、周期関数である三角関数で構成された関数を $\frac{2\pi}{3}$ 周期ずつずらした、３つの関数を用いてパラメタ表示をした後、
それが複素係数の指数関数で表せることを示した
さて、どうして周期関数や、周回曲線をいじっているかというと、ロトカ=ヴォルテラのように、要素が影響し合って、周回定常状態をとっている様子を解析したいから
また、定常状態には保存量がある(ことが多い？)ので、その保存量は何かが知りたいから
さて、三葉結び目の保存量は何か、そもそもあるのか…
- なお、ここで言うところの保存量は、いわゆる結び目の保存量とは違って(はずで)、曲線を描かせたときの「変数たちの保存量」のこと
いかにも、きれいな曲線であって、媒介変数表示なので、保存量もきれいなそれだろう、と予想するが
が保存されている
- ただし、 $x,y,z$ は複素数としてのそれ。三葉結び目は、この複素数 $x,y,z$ の虚部を座標としたもの
- また、三葉結び目は $k>1$ で $C2=C1*2$ の場合だが、 $C2$ が $C1$ の整数倍なら、 $k$ によらず保存されるようだ
- $C2$ が $C1$ の整数倍でないときは、 $Moc(x+y+z)$ は周期的な値になるらしい

library(rgl)
myi<-complex(real=0,imaginary=1)

# 周期は0-(2*pi)をX回繰り返しとする
X<-5
# １周あたりの点の数をnpt
npt<-1000
t<-seq(from=0,to=1,length.out=npt)*2*pi*X


delta<-1/3
C1<-1
C2<-2
k<-1.3
x<-(1/2*1/(C1+C2)*exp(myi*(C1+C2)*t))+(1/2*1/(C1-C2)*exp(myi*(C1-C2)*t))+(k/C2*exp(myi*(C2)*t))
y<-(1/2*1/(C1+C2)*exp(myi*(C1+C2)*(t+delta*2*pi)))+(1/2*1/(C1-C2)*exp(myi*(C1-C2)*(t+delta*2*pi)))+(k/C2*exp(myi*(C2)*(t+delta*2*pi)))
z<-(1/2*1/(C1+C2)*exp(myi*(C1+C2)*(t+delta*2*2*pi)))+(1/2*1/(C1-C2)*exp(myi*(C1-C2)*(t+delta*2*2*pi)))+(k/C2*exp(myi*(C2)*(t+delta*2*2*pi)))

open3d()
plot3d(Im(x),Im(y),Im(z),col=rainbow(1000),main="虚部")
open3d()
plot3d(Re(x),Re(y),Re(z),col=rainbow(1000),main="実部")

par(mfcol=c(1,2))
ylim<-c(min(x,y,z),max(x,y,z))
plot(Im(x),type="l",col=1,ylim=ylim,main="Im(x),Im(y),Im(z)")
par(new=TRUE)
plot(Im(y),type="l",col=2,ylim=ylim)
par(new=TRUE)
plot(Im(z),type="l",col=3,ylim=ylim)

plot(Mod(x+y+z),ylim=c(2*min(-1,Mod(x+y+z)),2*max(1,Mod(x+y+z))),main="保存量Mod(x+y+z)")
par(mfcol=c(1,1))