2010-12-30

手さぐりで進む

拡散微分偏微分

昨日の記事の続き
２次元空間に正方格子座標を置いたり、正三角形のタイルを埋め尽くして、隣接する(辺を共有する)正三角形との間で物のやり取りをしたり、正六角形のタイルで埋め尽くしたりして、同様のことをする話だった
今、２次元平面のある点から $\frac{2\pi}{N}\times i,i=1,2,...,N$ 方向への物質の移動とその逆方向の物質の移動を考える
N方向への動きやすさは等しいものとする
$\frac{2\pi}{N}\times i$ 方向の単位ベクトルを $\bf{e_i}$ とし、 $\bf{x}$ における物質の濃度を $u(\bf{x})$ として、距離 $\Delta r$ の２点間の物質の移動は動きやすさの係数 $k$ を用いて $\frac{k}{N}\times (u(\bf{x}+\Delta r \bf{e_i})-u(\bf{x}))$
すべての方向について足し合わせると $\sum_{i=1}^N (\frac{k}{N}\times (u(\bf{x}+\Delta r \bf{e_i})-u(\bf{x})))$ となる
との極限を取ってやると、それが、方向すべてについて統合した「傾き〜『全』微分(偏微分が特定の方向への傾きであるのに対して、これは、すべての方向についての傾き)」
- すべての方向についての傾きを評価するのがラプラシアン(こちらも参照)
$\lim_{\Delta r \to 0} \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N (\frac{k}{N}\times (u(\bf{x}+\Delta r \bf{e_i})-u(\bf{x})))$
２次元平面で、すべての方向について物質のやりとりができて、そのしやすさが等しいときにこのようになる
方向ごとに移動しやすさに違いがあるとする(ただしその方向に関しては行きと帰りとでは同じ)と係数kが方向依存性を持つので
$\lim_{\Delta r \to 0} \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N (\frac{k_i}{N}\times (u(\bf{x}+\Delta r \bf{e_i})-u(\bf{x})))$
２次元平面を考えていた
次元を上げよう
今、D次元空間のとき、そこでの全微分は、「すべての方向についての傾き」なので単位ベクトルの集合 $\bf{E}$ を使って
$\lim_{\Delta r \to 0} \lim_{N \to \infty} \sum_{\bf{e_i} \in \bf{E}}^N (\frac{k_i}{N}\times (u(\bf{x}+\Delta r \bf{e_i})-u(\bf{x})))$ となる
こうしておくと、２次元平面にある円周という閉じた(１次元空間)の場合には、「すべての方向」について考慮すれども、接線方向が２方向あって、その２方向にしか物質が進めないので、接線２方向以外の $k_i=0$ となっている、そんな式となるし、３次元空間にある球面という閉じた(２次元空間)の場合には、「すべての方向」のうち、0でない $k_i$ を持つ方向は、接面方向のベクトルのみである、と考えればよいことになる
移動が可能な方向のみを考えてよいのなら、グラフのような構造でも同じ方式で考えられる(頂点数が有限なグラフの場合にはNが有限となるが)
粘菌が進行する動きは、「本人たち」が世界を俯瞰していないのなら、「行ける方向のすべてに手を伸ばして進んでみる」はずなので、「手さぐり型進行」であるし、それは「(進みうる)すべての方向」に関する『処理』を行っていることに相当する(はず)