2010-11-25

駆け足で読む『複素関数のさわり』

『複素関数のさわり』(芦田正巳先生)が非常にわかりやすい
第１章　複素関数
- 複素数の世界の指数関数・三角関数・双曲線関数
- ひとまず、複素数に関する指数関数・三角関数・双曲線関数　などをRを使って描いてみる
- Rはexp(),cos(),sin(),cosh(),sinh(),acos(),asin(),acosh(),asinh()が複素数対応(のよう)なので、与えるだけで、絵が描ける
- XY平面は複素数面、Z軸に値を与えるが、以下のコマンドでは、複素関数の値の虚部を与えている。実部を与えれば実部のグラフが描ける。こちらでリーマン面を同様なやり方で描いた
- 虚部と実部を並べて比べる、cos とcosh、sin とsinhとを並べて比べる、それらの虚部と実部とを、それぞれ比べると、周期のずれ、虚部・実部の交代している様子などが見て取れる
- $z=x+iy$ ：zは複素数、x,yは実数
- $e^{iz}=\cos(z)+i \sin(z)$
- - 指数関数の偶関数部分が $\cosh$ で奇関数部分が $\sinh$
- $\cos^2(z)+\sin^2(z)=1$
- $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$
- $\cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$
- $\sin(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}-e^{-iz})$
- $\cosh(z)=\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$
- $\sinh(z)=\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$
- $\cosh(z)=\cos(iz)$
- $\sinh(z)=-i\sin(iz)$

x<-seq(from=-5,to=5,by=0.05)
y<-seq(from=-5,to=5,by=0.05)
xy<-expand.grid(x,y)
z<-complex(real=xy[,1],imaginary=xy[,2])

# 以下、虚部を第3軸に与えている
# 実部で描くためには、Re(exp(z))などとする

plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(exp(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="exp",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(cos(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="cos",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(sin(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="sin",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(cosh(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="cosh",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(sinh(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="sinh",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(acos(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="acos",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(asin(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="asin",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(acosh(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="acosh",dir=".")


plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(asinh(z)),col=rainbow(1000))

X <- par3d("userMatrix") 
movie3d( par3dinterp( userMatrix=list(X,rotate3d(X, pi/2, 1, 0, 0),rotate3d(X, pi/2, 0, 1, 0) )), duration=5 ,movie="asinh",dir=".")

# 関数間の比較用
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Re(exp(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(exp(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Re(cos(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(cos(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Re(sin(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(sin(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Re(cosh(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(cosh(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Re(sinh(z)),col=rainbow(1000))
open3d()
plot3d(xy[,1],xy[,2],Im(sinh(z)),col=rainbow(1000))

第２章　複素関数の微分
- 複素関数の微分とは、複素数を係数とし、変数に複素数をとる関数を、複素数である変数で微分すること
- 複素平面は２次元なので、そこでの微分も２次元
- 微分可能性は２次元面の全方位での微分可能性のこと
  - 次元が上がると、「全部」を「なめる」のが大変になるのは、統計処理と同じこと
- 複素関数の微分可能性から、２次元のラプラシアンが出てくるのは、「２次元だから」
- 物理では、３次元のラプラシアンが良く出てくる
- 統計では高次の微分が必要になる
第３章　複素関数の積分
- ２次元の積分
- 経路で積分
- ぐるっと一周すると積分はゼロ
  - ただし、それには一周する経路とその内側で微分ができないといけない
- 内側に微分できない部分があるとき(正則でないとき)には、ぐるり１周の積分には $2\pi i$ 分、増える
第４章　複素関数の展開と特異性
- 微分を繰り返してそれを使って展開する
- 正則かどうかは、「微分」を使うので大事
- テイラー展開とローラン展開
- 特異点：正則でない点のこと
  - ローラン展開は正則でない点を囲む領域での展開
  - 正則でない点(特異点)に関して調べるのにローラン展開が使える

第５章　留数定理
- 留数は特異点のタイプとその数と一周ぐるりとの関係で決まる
- 留数を求めると積分もできてしまう