2010-11-18

多項分布

R 多項分布

こちらから
ヒットを「０ヒット」「１ヒット」「２ヒット」…「 $N_h$ ヒット」とする
その確率を $p_i;i=0,1,2,...$ とする
Vnumは打者人数。Nout.numは1イニング変わるためのアウトの数。
最後の打者は「０ヒット」
それ以外の打者Vothers=Vnum-1人の内訳は、「kヒット」の人数をとすれば
- $\sum_{k=0}^{N_h} n_k=Vothers$
- $k_0=2$
- Nからnを取り出すのはNをnと(N-n)とに分けることで、それは２項分布
- Nからn1,n2,...,nkとに分けることは、多項分布(Wikiはこちら)
  - 式を再掲すると
  - $\frac{Vothers!}{n_0!n_1!...n_{N_h}!}p_0^{n_0}p_1^{n_1}...p_{N_h}^{n_{N_h}}$
  - $=\frac{Vothers!}{\prod_{k=0}^{N_h} n_k!}\prod_{k=0}^{N_h} p_k^{n_k}$
の部分を関数にすると
- $x!=\Gamma(x+1)$
- $e^{log(\Gamma(x+1))}=\Gamma(x+1)=x!$
- 以下のソースで使っている関数 $lgamma(x+1)=log(\Gamma(x+1))$ であることにに注意すれば

mypolynomial<-function(x) exp(lgamma(sum(x)+1)-sum(lgamma(x+1)))
uchiwake<-c(5,4)
mypolynomial(uchiwake)
choose(sum(uchiwake),uchiwake[1])
uchiwake<-c(3,4,5)
mypolynomial(uchiwake)

実行結果

> mypolynomial<-function(x) exp(lgamma(sum(x)+1)-sum(lgamma(x+1)))
> uchiwake<-c(5,4)
> mypolynomial(uchiwake)
[1] 126
> choose(sum(uchiwake),uchiwake[1])
[1] 126
> uchiwake<-c(3,4,5)
> mypolynomial(uchiwake)
[1] 27720

この式変形が面倒くさいけれども、いったん関数処理にしてしまえば、
「Vothers」の内訳が( $2,n_1,n_2,...,n_{N_h}$ のときの確率 $P(uchiwake=(2,n_1,n_2,...,n_{N_h})$ と書くことにすれば、その中身を忘れることができる
では、 $P(uchiwake=U)$ を考える
の３通りも同様に計算できる
- - - - -
以下はちょっと覚書
覚書１
こちらでは、ヒットかアウトかの２項分布を扱っている
多項分布を使わなくてもよいかもしれない
A人でイニングが終了し、B人が残塁したとする。アウトの数はC=Nout.numである
このとき、得点はA-B-C
このときのヒットアウトの並び方がSであるとする
Sを変えて得点をA-B-C+1にする方法を考える
- Bを変えずに（Cは変わらない）、A→(A+1)とする
  - このような並び方の確率は、Sの確率に何かしらのヒットを打つ確率をかけたもの
- Aを変えずに（Cは変わらない）、B→(B-1)とする
  - このような並び方の確率は、Sのうち、残塁部分に関与している「k塁打」を「k+1塁打」にする( $\frac{p_{k+1}}{p_k}$ をかけたもの)
覚書２
得点を考えるときには、残塁パターンとかいろいろなことが気になる
uchiwakeは、ヒットの順番を無視している計算（そうすることで簡単になっている）から、順番が気にならない部分（残塁部分よりも「遠くの」塁の部分）に関してのuchiwakeである、とする
ある残塁パターンを決め打ちにしたうえで、その残塁パターンより遠い部分のuchiwakeを考えることにする
その分の得点は「uchiwake人数-その中のアウトの人数」である
残塁パターンを考える
- (１塁、２塁、３塁）なら(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0)…など。数え上げられる
残塁パターンをもたらすヒットパターンを考える
- (0,0,0)なる残塁パターンなら
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが２回））→ホームラン」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが１回））→ホームラン→アウト」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが０回））→ホームラン→アウト→アウト」
- (0,0,1)なる残塁パターンなら
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが２回））→三塁打」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが１回））→三塁打→アウト」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが０回））→三塁打→アウト→アウト」
- (1,0,1)なる残塁パターンなら
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが２回））→二塁打→一塁打」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが１回））→二塁打→一塁打→アウト」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが１回））→二塁打→アウト→一塁打」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが０回））→二塁打→一塁打→アウト→アウト」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが０回））→二塁打→アウト→一塁打→アウト」
  - 「（いろんなヒットパターン（その中にアウトが０回））→二塁打→アウト→アウト→一塁打」
- など
この残塁パターンと得点の関係を考える
残塁の「先」には、あるuchiwakeが続いているとする
得点はuchiwakeによって決まっている
今、ある残塁パターンのある一つの「k塁打」を「k+1塁打」に変えると、