ryamadaのコンピュータ・数学メモ

初めて起きる

今、時刻t $0 \le t \le \infty$ において、ある事象が起きる確率を $P(t)$ とする
また、この事象が時刻0から観測し始めて、１回以上起きた確率を $F(t)$ とする
さらに、この事象が時刻0から観測し始めて、初めて起きる確率を $f(t)$ とする
$\frac {d F(t)}{dt}=f(t)$ である
また、時刻tにおいて、まだ一度も起きていなくて、まさにそのときに起きると、それは、時刻tで初めて起きているから、 $f(t)=(1-F(t)) \times P(t)$ という関係にある
これを書き換えて $P(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$ と書くこともある
時刻tで事象が起きる確率が時刻によらないで一定のとき、それは、偶発事象と呼ばれ、そのとき、 $P(t)=\frac{1}{a}$ (aは定数)とおける
$P(t)=\frac{m x^{m-1}}{a}$ とおくこともよくあって、これだと、 $F(t)$ , $f(t)$ はワイブル分布の分布関数と密度関数になっている
なお時刻tにおける生起確率の関数 $P(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$ をハザード関数と言う
マルチプルテスティングとの絡みはこちら