2010-09-03

三角関数から by RY

２次元の場合
- 半径１の円がある
- その周は $2\pi$
- 今、この円周上の点の座標を $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ で与えることができる
- この点は、ある基準点 $(1,0)$ から角度 $\theta$ だけ円周に沿って移動した点
- この弧の長さが $\theta$ であり、この角度も $\theta$ と言う
- $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ を考えてみよう
- ２つの点( $(1,0),(0,1)$ から、順方向(角 $\theta$ を計っている方向)にどのくらいの距離を行くと、点 $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ になるかをもって、この点を表すとすると、 $(\phi_1,\phi_2)=(\theta,\frac{\pi}{2}-\theta)$ という値のペアが得られる
- $\phi_1+\phi_2=\frac{\pi}{2}$ であり、点の座標は $(\sin(\phi_1),\sin(\phi_2))$ と表される
- $\phi_1+\phi_2=\frac{\pi}{2}$ ：これは、総量が $\frac{\pi}{2}=\frac{S_2}{2^2}$ を２つの成分に分けるわけ方である(ただし、 $S_k$ はk-次元球の表面積(今は $k=2$ なので円周)であり、右辺の分母 $2^2$ の指数は次元( $k=2$ )
- ここで、ちょっと考え方を変えて、 $\phi_2$ を使って、第１成分の値を、 $\phi_1$ を使って第２成分の値を表すことにすれば、 $(\cos(\phi_2),\cos(\phi_1))$ と表せる
３次元を考える
- 球面の $\frac{1}{2^3}$ を考える
- この部分球面上に点をとって、その点と、３基準点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ のそれぞれを通る大円を描く
- この大円によって、 $\frac{1}{8}$ 部分球面は３等分できる
- 今、この部分球面の面積は、単位球表面積の $\frac{1}{8}$ であって、計算でき、３つの値は、 $(1,0,0),(0,1,0)$ を"底辺"とする球面上の三角形と、同様に、２基準点を結ぶ大円を"底辺"とする球面上三角形の"面積(立体角)"に分割される
- この立体角を $\phi_{2,3},\phi_{3,1},\phi_{1,2}$ とする
- ただし、３つの $\phi_{i,j}$ は $t\not = i,j$ のとき第t成分であるとする
- 定義より $\phi_{2,3}+\phi_{3,1}+\phi_{1,2}=\frac{S_3}{2^3}$
- ここで、部分球面上の点のユークリッド座標を $(x_1,x_2,x_3)$ であるとし、 $(x_1,x_2,x_3)=(f(\phi_{2,3}),f(\phi_{3,1}),f(\phi_{1,2}))$ であるような関数 $f$ が定義できるのだろうか
- このfは「３次元における三角関数(自由度が２(３変数で、１制約( $\phi_{2,3}+\phi_{3,1}+\phi_{1,2}=\frac{S_3}{2^3}$ ))
- このような分割が球面上の点を一意に定めるが、問題は、そのときに $\phi_{i,j}$ が等しいときに $x_k, k \not = i,j$ が等しいか、ですが、次のように試してみると、そのようことは言えないようである

KyuumenSankaku<-function(v1,v2,v3){
 t12<-acos(sum(v1*v2))
 t23<-acos(sum(v2*v3))
 t31<-acos(sum(v3*v1))

 s1<-acos((cos(t23)-cos(t31)*cos(t12))/(sin(t12)*sin(t31)))
 s2<-acos((cos(t31)-cos(t12)*cos(t23))/(sin(t12)*sin(t23)))
 s3<-acos((cos(t12)-cos(t31)*cos(t23))/(sin(t31)*sin(t23)))

 area<-s1+s2+s3-pi

 list(vs=matrix(c(v1,v2,v3),ncol=3,byrow=TRUE),t=c(t12,t23,t31),s=c(s1,s2,s3),area=area,area2=area/(pi/2))

}
v1<-c(0,1,0)
v2<-c(0,0,1)
library(MCMCpack)
Niter<-1000
v3s<-rdirichlet(Niter,c(1,1,1))
v3s<-sqrt(v3s)
area<-rep(0,Niter)
for(i in 1:Niter){
 #v3<-runif(3)
 #v3<-v3/sqrt(sum(v3^2))
 #v3<-c(1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))

 area[i]<-KyuumenSankaku(v1,v2,v3s[i,])$area2

}

plot(v3s[,1],area,xlab="x1",ylab="rittaikaku")

- つまり、[tex;(\phi_{i,j})]の値の組によって $(x_i')$ は決まるのであって、 $k=2$ のときは、次元が低いために特殊で、それが三角関数（パラメタ数１の関数）であるらしい
- 逆に言えば、高次元の三角関数は、パラメタ数が $k-1$ の関数である、と。
- 球面三角形、球面三角法については、こちらやこちら
では次元を一般化する
k次元空間にあるk次元球の表面(k-1次元球面)を考える
- 基準点(1,0,0,...,0),...(0,0,...,0,1)がk個ある
- k次元空間に１点ある
- その点と、k個の基準点から(k-1)個の点を取り出して、全部でk個の点のセットを作る。そのようなセットはkセットある
- それぞれのセットに立体角がある。(k-1)個の基準点に含まれない基準点がi番目の基準点としたとき、この立体角をi番目の立体角として $\phi_i$ とする
- $\sum_{i=1}^k \phi_i =S_k$ である
- $(\phi_i)$ は $k$ 個の変数からなり、１個の制約 $\sum_{i=1}^k \phi_i =S_k$ があるので、自由度が $k-1$
- この $k-1$ 自由度の $k$ 個の変数で $(x_i);i=1,2,...,k$ が定められる(だろう)
- $x_i=f_k(\phi_i)$ なる関数 $f_k$ はないのだが、[tex:f*1]という多パラメタ関数があるらしく、それが高次元三角関数であるということか。
こちらに続く

*1:\phi_1,\phi_2,...,\phi_k