計算可能性

この記事は表現、非常に曖昧かつ、うそを含む可能性高し！
計算可能性とは、
『数学的には』(数学者でない者が数学的説明を読んで、いきなり数学的な厳密性をはしょって説明するときの枕詞である)、次のように言えるのだろう・・・
『アルゴリズムが、１つの入力を得て１つの出力を返すときに、入力と出力とが、いずれも処理可能な閉じた世界の存在であれば、答えに行き着けるのに対し、出力が閉じた世界の存在でなければ、答えに行き着けない。では、答えに行き着けないとき、それは、計算不可能か、というと、そうではなくて、閉じた世界の外の存在であることの判定ができれば、その時点で計算をやめることができる、という意味で、答えを得られないながら計算可能であるとみなす。つまり、計算するときには（１）入出力が閉じた世界にあって、答えが(いつかは)得られる場合、（２）入出力が閉じていないが、取り扱いできない外の世界であることの判定はできるので答えを出す努力を中止することができる場合、（３）入出力が外の世界に及ぶが、外に及んだことの判断が不能で止める判断を下せない場合、の３通りになる。（１）を帰納的加算(recursively enumerable)（２）を計算可能(computable)（３）を計算不能(uncomputable)と言う』

このことは、関数・射影・帰納など、いずれも数学的に定義された用語を用いて(公理と)定理の上に証明されている