- 一昨日の記事で、ラボに届いた『数学セミナー2010年12月号の記事に関連した話題(凸多面体の展開図)』に触れた
- 同誌の同じ号に「ガム・ボールマシン問題」というのがある
- がちゃがちゃのような機械で、それは、丸いガム玉を出すもの
- その機械からは、平均して1個のガム玉が出るけれど、何個出るかは、機械ごとに設定してあるのだと言う(ガム玉の確率設定)
- そんなガム・ボールマシンがたいていは、複数台並べてあるらしい
- 今、並んでいるすべてのガム・ボールマシンを1回ずつすべてまわしてみたときに、何個のガム玉が得られるかに興味があるとする
- ガム・ボールマシン問題では、n台のマシンがあるときにn+1個以上のガム玉が得られる確率が最大になるような、ガム玉の確率設定はどんなものであるか。また、そのときにn+1個以上のガム玉が出る確率はいくつか
- 同誌でも数学的な言い回しをしているので、それを引用すると
非負の整数値のみをとり期待値が１である互いに独立なn個の確率変数X1,X2,.,,,Xnを考えるとき、確率P(X1+X2+...+Xn>=n+1)の値が最大になるのは、各確率変数Xi(i=1,2,...,n)がどのような分布に従うときか。そして、そのときのP(X1+...+Xn>=n+1)の値はいくらとなるか。
- そして、これは「解けそうで解けない問題＞40年」とのことであるが、予想はあるらしく
どの機械も、n+1個のガム玉を1/(n+1)の確率で出し、残りの確率1-1/(n+1)で0個のガム玉を出すときだろう、と
- さて、今、野球問題を扱っている(こちら)
- ガム・ボール機械の数をイニング数とする
- 各イニングでは非負の整数値をとる
- 全打者を同じにすると、すべてのイニングでの点数の期待値は同じ
- X1+...+Xnは試合の得点
- ほとんどいつも０点をとり、ときに、大量得点をとるときに、ある点以上をとる確率が最大になる(もろもろの条件などがあって、簡単に引き移すわけにはいかないのだが…)
