2.1 Introduction 群(位相空間と可換群が作る群「位相・可換の群」)を以下から構成する 位相空間 可換群(アーベル群) 非負整数(次元につながる値) 写像 写像を「位相・可換の群」から「位相・可換の群」への対応づけ(homomorphism)として考える 圏論的に関手…

データは点の雲を作る データが作る点の雲の図形・位相を考えよう 要点 質的情報が必要 測度が理論的にはっきりしない 座標が自然ではない 個々のパラメータ選択よりも、全体の要約に意味がある 何故、トポロジーが有用か トポロジーは幾何から量的要素を除…

テキストはこちら その前に位相幾何学を…(こちら) 「位相群」についてはこちらを 「基本群」についてはこちらのループをまとめる話を 少し書き足すと： 円板上 基本群はただ一つの要素 円周 時計回り１周、時計回り２周、…、反時計回り１周、反時計回り２周…

数え上げ幾何と弦理論作者: S・カッツ,清水勇二出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 2011/11/10メディア: 単行本（ソフトカバー）購入: 1人 クリック: 2回この商品を含むブログ (2件) を見る ページを繰ってみるだけ。用語を拾ってみるだけ 数え上げ幾何学の…

松の木は枝振りを楽しめる。 そういうのとは違うけれども、伸び放題になった松の枝をおろすと、かさばる切落としがたくさんできる かさばるままだと、とにかく邪魔だ。ゴミ袋にも収まらない かさを減らすために、分枝部を切り刻んでみた 切り刻みながら、考…

最小全域木の多次元化についてこちらにメモした 多次元化する別の方法について考えてみる 最小全域木をもう一度見直す 最小全域木作成のアルゴリズムを確認する すべての点が「辺」でつながるように持っていく 「辺」は１次元的なもの (作りうる)すべての「…

最小全域木 N個のノードがある すべてのノードが連結であるようなグラフのうち、エッジの数が最少なとき、その数はN-1 ここで、エッジの重さ(長さ)の和が最小であるようなエッジの取り方があり、そのようなエッジのセットでノードを連結したとき、それを最小…

前の記事では、円筒表面空間だった トーラスにしてしまうとどうなるか トーラス上の直線はこちらで描いた 状態曲線がこのトーラス上の直線であるとき、ある一つの変数の値の変化はどうみえるか library(rgl) # 三角形を描こう gr<-101 initangle<-runif(1)*2…

直線は、まっすぐな線 ユークリッド空間に直線を引くことができる 曲がった空間(多様体)にも(いたるところ、局所的にはユークリッド空間的なら)直線を引くことができる たとえば、円筒表面を考える 筒の長軸に一定の速度で進みつつ、筒の円周を一定の角速度…

非平衡の話から、多様体とその上での微分の話が出て、多様体の分類、その代数的取扱いとしてBetti数が出た(こちら) もともとは、こんな休憩用読書リストから始まったこと つながり具合に着目すると、Betti数になるそうだ(ここで書いた) 「こんぐらがり具合」…

こちらで、多様体の分類の話、そのための位相の代数的取扱いのこととしてBetti数が出てきた このシリーズでBetti数が出てくる 単体から複体と来てホモロジー 資料１単体的複体 資料２ホモロジー群とBetti数 証明 位相不変量 オイラー標数とBetti数の関係はこ…

こちらの続き 曲線の長さがだんだん長くなる話 x軸方向に行くにしたがってなるyz平面にのたうつ線の長さが長くなる、と見ることにする のような指数関数的なものを考えると、あるにおける線の長さは非常に長くなって、「無限」に長くなる １次元に無限に伸び…

スカートの襞に関する数理をかなり時間をかけて検索したが、なかなかよいものがない どのような材質のものをどのような面で作ると、どのような３次元のみてくれになるか、というのは、服飾科学上の課題だと思うのだが… 関連する論文としてはこちら("Depth of…

双曲幾何は、曲面の話。襞形成 服飾科学 皮膚・形成外科 面と来れば、線 糸の科学 裁縫 結紮 結び目 そう考えると『医学生物学・数学・コンピュータ、モジュール』に使える

双曲鉤針編みによるさんごの「ひだひだ」構造の３次元realizationの話が昨日の記事 かぎ針編みは横において、こんな風に考える ３次元空間のxyz軸を考える 今、y=0のときに、ある物体が、長さLの直線であって、x軸上に]で横たわっているとする ここで、y軸に…

たとえば、たわみを円弧にすることで吸収するような仕組みのとき L<-1 a<-1 fx<-function(x,a){ x/sin(x)-a } interval<-c(0,pi/2) uniroot(fx,interval=c(10^(-10),pi/2),a=1.1) X<-1 Y<-1 Ny<-100 Nx<-100 ys<-seq(from=0,to=1,length=Ny)*Y Xs<-Ys<-Zs<-c…

双曲幾何平面を平面用紙から作るのは大変だ Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes作者: Daina Taimina出版社/メーカー: A K Peters/CRC Press発売日: 2009/02/23メディア: ハードカバー購入: 2人 クリック: 23回この商品を含むブログ (5件) を見る …

こちらの続き # 原点から距離Rの点が正k角形を作っている # その正k角形の頂点を中心とする半径rの円は # 原点を中心とする半径aの円と交点を持つ # その交点において、正k角形の隣の頂点を中心とする半径rとも交わる # 正k角形の隣り合う２頂点を中心とする…

こちらの続き ２個の円の両方に直交する円をたくさん描いてみよう さて、今、２円に直交するたくさんの円のうちの１つについて、円に関する反転をすることを考える 円に関する反転では、その反転を決める円に直交する円は、反転して、自身になる したがって…

三角形の垂心の座標の求め方(こちら) 相互に弧が直交する３つの円は、次を満たす ３つの円の中心を３点とする三角形を考える 円のペアの交点は、その２つの円の中心を結ぶ辺に、その三角形の垂心から下した垂線上にある 今、３個の円が作る３つの円のペアに…

原点を中心とする半径１の円について円の内側の図形を外側に反転させるとき 原点Oからの距離がの点Pは、OPの延長線上であって、距離の点P'に移される また、PとP'とを通る円は、原点からの距離がでありPP'に垂直な直線上に中心を持ち、このような円の弧と、…

円は、原則として円に移される 例外は、原点を通過する円で、それは直線に移される 直線は、原点を通過する円に移される # hyperbolic disk t<-seq(from=0,to=1,length=100)*2*pi xc<-cos(t) yc<-sin(t) #plot(xc,yc,type="l") # straigt lines orthogonally…

Three-Dimensional Geometry and Topology (Princeton Mathematical Series)作者: William P. Thurston,Silvio Levy出版社/メーカー: Princeton Univ Pr発売日: 1997/01/17メディア: ハードカバー クリック: 5回この商品を含むブログ (3件) を見る 双曲線幾…

数学は楽しい (別冊日経サイエンス 169)作者: 日経サイエンス社,瀬山士郎出版社/メーカー: 日経サイエンス発売日: 2010/02/18メディア: 大型本購入: 3人 クリック: 9回この商品を含むブログ (8件) を見る 数学読み物 その最後から２番目は「数学は死んだ」の…

距離空間は、任意の２点間に「距離」が定められていて、それが「距離らしいルール」にのっとっている空間 位相空間は距離空間を含む 位相空間では、台となる集合の「部分集合の集合」が定義されていて、それを位相と呼び、 台となる集合とこの位相とのペアが…

群、トポロジーは、相互に入り組んでいて、「こことここをつなげて説明してほしいのに、こことあそこをつなげて説明してある」みたいな、ところがある 自分が気にするつながりをメモ 実数数直線は、0を含む等間隔の点の集合が加群 その加群で剰余類に分ける…

こちらで、細胞生物学の基礎の輪読会に参加している この回は細胞の概論 細胞膜、細胞内膜構造、細胞内寄生膜構造(ミトコンドリアなど)が作る細胞内の区画をシミュレーションに乗せるには、どういうオブジェクトにするのが適当だろうか すっと思いつかないけ…

正方形の対辺同士を貼り合わせて、正方形の「表」がトーラスになること、正六角形の対辺同士を貼り合わせて、「表」がトーラスになることを、昨日までの記事で示してきた。正三角形は辺の数が奇数だ。これだとどうなる？ まず、２辺を貼り合わせる。 円錐の…

こちらで、正方格子座標をトーラス上に描いた 今日は三角格子 まず、平面に三角格子を描き ３方向の平行線をトーラス上に描き 最後に３方向の平行線のすべてをトーラス上に色分けして描く 格子を描くのは、平行線の方向ベクトルとその法線ベクトルの格子を作…

こちらで、正方形の対辺を貼り合わせてできるトーラスを作った この正方形に格子座標があると、トーラス上にその対応格子ができる それを描こう 緯線のほとんどは水平方向の平行線だが、縦切りがあるのがわかる。それは、描図上のごみ 同じく、経線のほとん…