遺伝学・遺伝統計学関連の姉妹ブログ『ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ』
京都大学大学院医学研究科ゲノム医学センター統計遺伝学分野のWiki
講義・スライド
医学生物学と数学とプログラミングの三重学習を狙う学習ツール
駆け足で読む○○シリーズ
ぱらぱらめくるシリーズ
カシオの計算機
オンライン整数列大辞典

Rmdファイルをipynbファイルに変換する

R Rmd ipynb jupytext
  • Rmdをipynbに変換したいです。
  • いくつか方法があるようですが、jupytest (pip　でインストールこちら)と言う仕組みを使うと
jupytext --to notebook hoge.Rmd
  • とすることで hoge.ipynbと言うファイルができるようです。
  • ただし、このまま、hoge.ipynbをJupyter notebookで開くと、カーネルが(デフォルトの)pythonになっているようなので、Jupyter notebookを開いている画面のメニューからカーネル変更を選んでRに変え、その上で、ファイルを別名保存するのが良さそうです。

f:id:ryamada:20200602094647p:plain

AtomからR実行

atom.io

  • パッケージR-execをインストールすると、Rのコードを選択した状態で「⌘ + リターン(エンター)」すると、Rが起動して、実行される
  • 呼び出されるのがいわゆるGUIのRになるか、Rstudiomになるかは、ツールバーのパッケージから、R-exeを選び、そこに現れる、Chage appに進み、R.appを選べばGUIのRが呼び出され、Rstudioを選べばRstudioによる実行となる
  • また、「⌘ + リターン」が別のパッケージのショートカットコマンドに割り当てられている時は、R-exeに割り当て直さないといけない（キーバインドの変更方法

mcommit.hatenadiary.com
）

  • Atomのメインメニューから、環境設定へ進み、キーバインドを選ぶと、ショートカットキーの一覧を見ることができる。ここで、「⌘ + リターン」への割り当てを持っている複数のパッケージが見つかるから、R-exeの前にあるアイコンをクリックして、「然るべき文字列をクリップボードにコピー」して、「キーバインド」の一番上に戻り、「キーマップファイル」に貼り付ける、と言う１文のクリッカブルな「キーマップファイル」をクリックして開き、末尾に、ペーストする。これで出来上がり

ぱらぱらめくる『LinKnot Knot Theory by Computer』

ぱらぱらめくるシリーズ 結び目理論 位相
  • 結び目理論の計算機的扱い
  • Mathematicaのアドオンパッケージとして公開されている内容らしい
  • 結び目を計算機が扱う方法について詳述していると思われる

LinKnot: Knot Theory by Computer (Series on Knots and Everything)

LinKnot: Knot Theory by Computer (Series on Knots and Everything)

  • 目次
    • 1. Notation of Knots and Links
    • 2. recognition and Generation of Knots and Links
    • 3. History of Knot Theory and Applications of Knots and Links
  • 細目次
    • 1. Notation of Knots and Links
      • 1.1 Basic graph theory
      • 1.2 Shadows of KLs (KLs = Knots and Links)
      • 1.3 KL diagrams
      • 1.4 Reidmeister moves
      • 1.5 Conway notation
      • 1.6 Classification of KLs
      • 1.7 LinKnot functions and KL notation
      • 1.8 Rational World and KL invariants
      • 1.9 Unlinking number and unlinking gap
      • 1.10 Prime and composite KLs
      • 1.11 Non-invertible KLs
      • 1.12 Reduction of R-tangles
      • 1.13 Braids
      • 1.14 Braid family representatives
      • 1.15 More KL invariants
      • 1.16 Borromean links
    • 2. Recognition and Generation of Knots and Links
      • 2.1 Recognition of KLs
      • 2.2 Polynomial invariants
      • 2.3 Vassiliev invariants
      • 2.4 Experimenting with KLs
      • 2.5 Derivation and classification of KLs
      • 2.6 Basic polyhedra and polyhedral KLs
      • 2.7 Basic polyhedra and non-algebraic tangles
      • 2.8 KL tables
      • 2.9 Projections of KLs and chirality
      • 2.10 Families of undetectable KLs
      • 2.11 A dream --- new KL tables
    • 3. History of Knot Theory and Applications of Knots and Links
      • 3.1 History of knot theory
      • 3.2 Mirror curves
      • 3.3 KLs and fullerenes
      • 3.4 KLs and logic
      • 3.5 Waveforms
      • 3.6 Knot automata
  • 1.1 Basic graph theory
    • 平面グラフが対象になる
    • Embedding adjacency matrixという表現がある。平面グラフの頂点にIDを付与したとき、各頂点につき、接続頂点集合を時計回り・反時計回りのどちらかに固定して、巡回する(どの頂点から巡回を始めても同じとみなす)こととする。例えば、頂点 i が、頂点 j1,j2,j3,j4の４頂点にその順で接続しているとき、{ {i,j1,j2,j3,j4 }, { ... }, { ... } , ... , {...} } のように記す、ただし、{i,j1,j2,j3,j4} と {i,j3,j4,j1,j2} とは同一視される。これをembedding adjacency listと呼び、それをmatrix仕立てにしたものがembedding adjacency matrix
    • 3-dimensional convex drawings of 3-connected planar graphs等、planar graphの2次元埋め込み方法や、グラフがplanarかどうかの判定法には理論・アルゴリズムなどがあり、LinKnotではそれらを実装した関数がある
    • 平面、球面だけでなく、向き付け可能面(トーラスとか)へのembeddingも扱える
  • 1.2 Shadows of KLs (KLs = Knots and Links)
    • KnotとLinkの定義
    • 集合と位相空間の定義、位相同型の定義、そして埋め込みの定義
    • 2つのknots(もしくはlinks)のambient-isotopicな関係を、２つの実三次元空間とを滑らかにつなげることと定義
    • TameなKLsはpolygonal (有限個の直線成分の連結とみなせる)と言う。それらは滑らかなカーブとして扱える
    • KLsは2次元空間に写像できる。regularな写像(KLsの位相具合を表しつつ、それに不要な重なりがないような像)は4-正則グラフになる。2次元空間へのregularな写像において、グラフ交点になったところを、3次元空間に逆写像すると、3次元空間では2点に対応する
    • Component algorithmというのがある。4-正則グラフの辺を一つ取り、その終点に接続する、残りの３辺のうち、中央に来る辺を選ぶことにする。そうすると必ず最初の辺の始点に戻ってくる。この閉路がLinkの構成Knotの1つに相当する。まだ通過されていない辺があれば、そのような辺のひとつをとり、同じことを繰り返す。これにより、Knotsの個数がわかる。これをComponent number of Linkと言い、KLの不変量の一つである
    • Component numberはKLsの分類に標準的に使われる不変量だそうだが、この本では、component numberによらないKLsの特徴を扱いたいとのこと。component numberによらない特徴量に何かしら重要な特性があるからと言うことなのだろう
    • Component algorithmにより、訪れる頂点ID順列の集合を作ることができる。これをガウスコードという
    • n頂点、j components のLinkに附番してi番目に登録されているときn_i^jと書くことがある。j=1ではjを省略することもある。Alexander-Briggs 記法という
    • 4-正則グラフなので、Embedding adjacency list では、要素数５(自身と接続４頂点の併せて５個)の部分集合を要素とする集合となり、それからガウスコードが導ける
    • ガウスコードでは、サイクル上に同じノードIDが連続していると、そこにループ(ノードから出て自身に戻るエッジ)があることになる。そのようなループが無いように記載したガウスコードはproperであると言われる
    • ガウスコードから、さらに省略したDowker コードというものが作れる
      • 具体例の説明を先にする
      • Knotのガウスコードが{1,2,4,3,2,1,3,4}とする。1,2,3,4は頂点ID
      • 各頂点が２回、通過されるから、のべ８個の数値が並ぶ
      • その順番を(1,2,3,4,5,6,7,8)とする
      • 頂点IDのそれぞれが、何番目かを、確認すると、頂点１は(1,6)、頂点２は(2,5)、頂点3は(4,7)、頂点4は(3,8)
      • 理由があって、頂点ごとの順序数のペアは奇数と偶数のペアになる。このペアを、(奇,偶数)とすれば、1:(1,6),2(5,2),3(7,4),4:(3,8)となる
      • このペアを奇数の方の順序数の順に並べ替えると、1(1,6), 4(3,8), 2(5,2), 3(7,4) となる。順序数の順に並べ替えているので、奇数の値1,3,5,7の順は、1-8の順番の１つ飛ばしの順に並んでいる
      • (1,3,5,7)と言う４つの奇数が、順序正しく並んでいることは「わかって」いるから、省略すれば、1(*,6), 4(*,8), 2(*,2), 3(*,4) となる
      • 今、頂点のIDがなんであるかについては、興味がなく、４つの交点が、どういう順番で通過されるかのみが、興味の対象なので、(*,6),(*,8),(*,2),(*,4)としてもKnot情報としては十分
      • さらに * はなくても「わかって」いるから、(6,8,2,4)としても、情報は失われない
      • 交点数4があるのは、便利なので {{4},{6,8,2,4}}と表記することにする。ここから、(1,6), (3,8), (5,2), (7,4) は復元でき、それによってKnotを描くことが可能である
      • したがって{{4},{6,8,2,4}}はKnotの記法として成立する。これはDowker コードと呼ぶ
    • DowkerコードのLinkへの拡張
      • Linkでは、複数のcomponent knotsのそれぞれがガウスコードで表記される
      • 頂点IDはどのcomponent knotに現れるかは様々だが、全部のKnotsについて数え上げても２回しか登場しないルールがある
      • 例えば、あるLinkが{{1,2,4,5},{1,6,4,3},{2,6,5,3}}と書かれているとする
      • 確かに、1,2,...,6のそれぞれが2回ずつ出ている
      • これを、componentsをまたいで、1,2,3,4,...,12と順番を付けることを考える
      • このままだと、例えば、頂点ID 1 の順序数は{1,5}となる
      • 奇数が２つ。KnotのDowkerコード作成では、すべての頂点IDの順序数が、偶奇ペアになっていた
      • 個々のKnotのガウスコードは始点をずらしても変わらないから、偶奇となるように、componentの構成頂点IDの順序をずらすこととする
      • {{1,2,4,5},{3,1,6,4},{2,6,5,3}}。これだと、1,2,3,4,5,6のすべてについて、偶奇となっている
      • 1:(1,6), 2:(2,9), 3:(5,12), 4:(3,8), 5:(4,11), 6:(7,10)
      • 確かに、偶奇
      • これを用いて{6,8,12,10,2,4)という偶数列ができる。３つのKnotsの長さ情報は、それぞれのcomponent ガウスコードの数値数の半分だから、この例では、３つの2が得られ、結局、{{2,2,2},{6,8,12,10,2,4}}となる
      • Dowkerコードでは、偶数列を使うが、実際には、「偶数列」であることがわかっているのなら、その半分の値の列から作成可能なので、{6,8,12,10,2,4}は{3,4,6,5,1,2}としてコーディングしても良いだろう
      • ちなみに、ガウスコードに戻した時に、同一の頂点IDの連続が起きるのは、この、偶数列を半分にした順列に置いて、i番目にiがなく、i+1番目にもiがない、という条件が必要となる
      • この条件を使うと、{s1,s2,s3}という順列をこの条件を満足するように作るには、最初の値は1ではいけないし、最大数の3でもいけないから、2と確定し、同様にして、結局、{2,3,1}しかありえないことがわかる。この非偶数Dowkerコードから、偶数Dowkerコードを復元すると、{4,6,2}となり、{{1,4},{3,6},{5,2}}という３頂点を二回ずつ通る順番情報が復元される。頂点IDを順序よくつければ、{1:(1,4),2:{3,6},3:{5,2}}となる。ここからガウスコードを復元すれば、{{1,3,2,1,3,2}}ができる。確かに、同じ頂点IDの連続がない３つの数値が二回ずつ登場した数列ができた。これは三葉結び目
      • もう１点、確認しておく。ガウスコードで、頂点IDの登場順序番号が偶奇１つずつになるように整えたものが与えられたとする。これが、一つのKnotなのか、３つのKnotsからできたLinkなのかは、これだけでは決まらない。{{1,2,4,5},{3,1,6,4},{2,6,5,3}}と書けば、３つのKnotsでできたLinkであるし、{{1,2,4,5,3,1,6,4,2,6,5,3}}と書けば、1つのKnotとなる。この２通りのKLsは、Dowkerコード的にはどちらも{6,8,12,10,2}を持ち、{{2,2,2},{6,8,12,10,2}}と{{6},{6,8,12,10,2}}との違いに対応する。{6,8,12,10,2}の方がもつ情報は、６つのペアという置換情報*1に対応し、{{6},...}と{{2,2,2},...}の方は、置換で言えば、*2という置換か、*3という置換かに対応する情報を提供しているという違いであることに気づく。また、複数のKnotsに分ける場合には、Knotsの分け目に置いては、ガウスコードで、同一の頂点IDが並んでも良いことは、１つのKnotに対応するガウスコードのルールとの違いになる。他方、Linkのガウスコードでは、Knotsの分け目に現れる頂点IDは、それぞれのKnotの別の端点IDと同一ではいけないというルールが発生していることに注意する
      • 順列でDowkerコード様のものを作ったとして、かならずしも、平面グラフならないとか、平面グラフにはなるが、球面上に実現できない(トーラス上に実現される)といった理由で、球面展開を前提にしたときには実現不可能なLKsが含まれる。トーラス等の上に実現されるリンクをvirtual linkと称する
      • 球面上実現可能性をチェックするアルゴリズムにDowker-Thistlethwaite アルゴリズムと言うものがある
  • 1.3 KL diagrams
    • キラリティというのがある。二次元平面に射影して4正則グラフにしたとしても、交叉点でどちらが上でどちらが下かの情報をなくしてしまっては、KLsの情報として十全ではない。どちらが上か下かを区別する記法もある。数値の下・上にバーをつける。2次元平面像を上から眺めるか、下にもぐって見上げるかによって、上下情報は反転する。それを鏡像と言う。鏡像がLK的に同一になるかならないかにより、そのKLsがキラルかアキラルかと区別する。下バー、上バーは、ガウスコード(頂点ID)にもつけるし、ガウスコードから得られる順序数にもバーをつけ、それをDowkerコードにも反映する
    • Alternating and non-alternating KLs. Alternating KLsとは、紐が交叉するときに、上下・上下と交互になるもの。Non-alternatingはそうではないもの。上下バーつきのDowkerコードでは、Alternating KLsの場合、バーが上ばかり・下ばかりになる。そうならないのはNon-alternating
      • 上下通過情報については、Alternatingを基準とし、そのパターンからずれた交点に対応する数値に印をつける(負の数にするなど)と、Dowkerコードが簡略化される。もしalternatingなら印つきの数値はなし。ただし、これにより、鏡像の区別はできなくなる(alternatingには２パターンあって、全上バーか全下バーかの２通りあるが、alternatingからのずれだけを記録すると、全上バーと全下バーとのどちらを基準にしたものかは判別不能だから
      • これをDTコード(Dowker-Thistlethwaiteコード)と呼ぶ
    • 紛らわしいことに、符号付Dowkerコードというのが別にある。これは、リンクの構成Knotsにそれぞれ向きをつけたときに登場する。ある紐が別の紐をくぐるとき、くぐられる紐が南から北に向かうと固定して考えた時、くぐり方は東から西向きか、西から東向きかの二通りある。この２つの向きを符号で区別したものが、符号付Dowkerコード。この違いが効いてくるのは、primeではないKLs。逆に言うとprimeなKLsでは、DTコード記載によって、向きアリLinkの符号識別問題は生じないことが知られている。ちなみに、Primeである、とは、KLsがat least 3-edge connected であるようなものを二次元平面に写像したもののこと。2-edge connectedとは、唇みたいな部分のこと(らしい)
      • この符号から得られる向き付きKLsの埋め込みの不変量をwrithe 不変量と言う(writhe:のたうち回る)。KLsの部分をくるりとひっくり返したりすることによって符号が変わることから(Writheは向き付きKLsの埋め込みが持つ不変量であって、KLs自体の不変量ではないそうだ)
    • 向き付きLinksには別の不変量 Linking numberというのがある
    • P-dataという情報の持ち方もある。Dowkerコードと基本的には同じという
    • 記法の最小情報化。同じKLsに複数のDowkerコードが対応するので、何かルールを入れて、簡単に記録したいし、「簡単に」記録できるということは、記法表現が違うと「簡単さ」に大小があるということになる。置換・順列を互換の積とすれば、それが小さいことが「簡単」の定義とできる。そのうえで、Linksの場合には、構成Knotsを短い順に重視するなどの順序を入れることで、「最も簡潔な記法(のうちの一つ)」を与えることが可能となる

*1:1,6),(3,8),(5,12),(7,10),(9,2),(11,4

*2:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

*3:1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12

多面体で充填する

置換 多面体 箙 充填
  • 多面体の充填状態は、空間四面体分割の双対
  • 多面体をぎっちりならべ、その外周を「裏返した多面体」とみなすと、3次元空間全体が多面体充填される
  • そこに置換構造を見出したい
  • コードはメモ

ぱらぱらめくる『結び目的思考法のすすめ』(数理科学2020年4月号)

結び目 ぱらぱらめくるシリーズ

数理科学 2020年 04月号 [雑誌]

数理科学 2020年 04月号 [雑誌]

  • 結び目的思考法のすすめ
    • アレキサンダー多項式
    • ジョーンズ多項式
    • 多項式不変量
    • スケイン関係式
    • 代数的タングルと結び目の分類
    • 結び目の補空間の3次元多様体研究
      • 任意の3次元多様体が、結び目・絡み目に沿った手術で構成可能
    • 基本群
      • 基本群のPSL(2,C)表現
      • 多くの結び目に双曲構造～負の低曲率空間の構造が入る
      • 結果として、すべての3次元多様体に何らかの整った幾何構造が入るという「幾何化予想」
    • ジョーンズ多項式から：
      • 作用素環への表現とそのトレースから構成された不変量
      • 統計物理的な解釈
      • 量子群よる解釈
      • 量子不変量
      • 位相的量子場
      • 3次元多様体の不変量に一般化
  • 微分幾何と結び目
    • 曲率・捩率、フレネ=セレ動標構
    • 曲率・捩率は局所的な量→全体量は積分で得られる
      • 結び目が非自明ならば、全曲率は4\pi以上
      • 結び目の橋指数の2\pi倍が全曲率
    • 全二乗曲率：曲線全体の集合上定義される
      • 臨界点に相当する曲線というものが、曲線全体の集合上にあり、それは全二乗曲率の１階微分がゼロであるようなもの
      • 臨界点の中で安定な臨界点に当たる曲線は弾性曲線
    • 絡み目と絡み数
      • 絡み数はある結び目がもう一つの結び目に、符号込みで何回巻き付いているかを表す数
      • 自己絡み数、全捩率
      • 結び目のエネルギー、ベータ関数、留数
    • 大域的曲率
      • 最小大域曲率半径は結び目の太さ
  • 特異点と結び目
    • 代数曲線の特異点が結び目
    • 代数曲線をトーラスの展開図に描いて、展開図をトーラスに戻すと結び目になる、というような関係
    • 任意の絡み目は、S3からR2への安定写像の特異点集合として実現できる(佐伯の定理)
    • 任意の絡み目はS3からC3への可微分埋め込みのRC特異点集合として実現できる
  • 結び目を代数化する(カンドルという考え方)
    • カンドルはライでマイスター変形を代数的に記述したもの
    • 対称性との関係
  • 群による結び目の研究
    • 基本群を使う
    • 基本群は「空間に輪っかがどれほど引っかかるか」を表した群
    • 結び目群：補集合の基本群
    • 群を用いて不変量を取り出す
      • 例えば絡み目数
      • 絡み目数を一般化してミルナー不変量
    • 群準同型を使って、さらに不変量取り出しに使う
  • 計算機と結び目
    • 「与えられた結び目がほどけているかどうかを判定すること」はP vs. NP 問題的にどうなの？？と言った話
  • 組み紐の考え方と広がり
    • 上下端を固定して、組み紐・組み紐群とする。あみだくじっぽいもの
    • Foliationとかする
    • 配置
    • 超平面配置
    • 写像類群
    • 組み紐群には、デホノア(Dehornoy)順序と呼ばれる自然な左順序(左作用で不変な全順序)が定まる
  • グラフと結び目
    • 球面上のグラフにする
    • オイラーの多面体公式
    • 次数辺数関係式
    • 結び目射影図の面数公式
    • 多面体の面数公式
    • 空間グラフ理論(参照)
  • 作用素環と結び目
  • 場の理論と結び目
    • 物理を使って結び目不変量の数学を説明しようとすることでつながりが見えてくる

2D,3Dのボロノイ分割と外心との関係

幾何 外心 ボロノイ分割
  • 2次元に凸四角形を作り、その4頂点が作るすべての三角形の外心を列挙すると、一般的な場合に４つの外心が現れる
  • それらと、四角形の辺の中点とを結んだ線がボロノイ分割を構成し、それでつながらないところは、2個の外心を結ぶことでボロノイ分割が完成する
  • これを3次元に拡張すると、凸５頂点立体（凸６面体）で考えることになる
  • このとき、５つの四面体が５つの四面体外心を作る
  • この５つの四面体外心のうち、ボロノイ分割に使用される外心の数は、2個または3個になるらしい
  • それについてのぐちゃぐちゃとした考察