2019-11-06

懸垂曲線と最小曲面

懸垂曲線をぐるりとかいてんしてできる曲面が最小曲面になるという(こちら)
与えられた懸垂曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ をパラメタライズして調べてみる

2019-11-01

ぱらぱらめくる『素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式』英語版

ぱらぱらめくるシリーズ二次形式

英語版PDFはこちら
日本語版の本

素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式 (シュプリンガー数学リーディングス)

作者:J.H.コンウェイ
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2012/07/17
メディア: 単行本

二次形式について考える
整数係数二次形式は格子とみなせる
- 例えば $f(x,y) = 3x^2 + 6xy - 5y^2$ なる整数係数二次形式は
- $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ なる相互に線形独立な２つのベクトルを取ることにより、 $\mathbf{v} = x \mathbf{e}_1 + y \mathbf{e}_2$ と表される整数係数ベクトルは、 $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ が定める格子を指定する
- このとき二次形式 $f(x,y)$ は格子点に整数を与える関数になっている
この格子点とその値を定める二次形式は、基底の取り方を変え、それに合わせて二次形式の係数を変えて、別の関数表現にすることができる
しかしながら、格子点のパターンとその上の値が同じならば、同値とみなすことができる
したがって、異なる二次形式関数が同じ格子パターン・値分布に対応することとなる
このように、基底の取り方によらな格子パターン・値分布について考えたい
また、二次形式は $f(x,y) = a x^2 + b y^2 + h xy = \begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a, h/2 \\ h/2, b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と、行列表現ができる
Equivalentな二次形式における、基底の変換による二次関数係数の変化は $\begin{pmatrix} z\\ w \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} z,w \end{pmatrix} =M^T \begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ なる変換行列 $M$ があったとき、 $f(x,y) = \begin{pmatrix}x,y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z,w \end{pmatrix} M^T A M \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ なる関係があり
$det(M) = \pm 1$ なので
$det(B) = det(A) det(M) det(M^T) = det(A) (det(M))^2 = det(A)$ という関係がある
このように二次形式は行列表現すると、その行列式が二次形式のequivalentと関係する
Topotreeを描いてみる

2019-10-09

鏡映変換

2019-10-03

three.jsでforce-3dプロット

グラフのノードをその物理反発力に基づいて、エッジ長をそろえて座標を決めるアルゴリズムが(3d-)force layout
igraphパッケージにはlayout_with_fr()関数があるが
ジャバスクリプトで3d-interactive表示させるライブラリと連携させるRパッケージthreejsのデフォルトレイアウトがこのforce-layoutになっている
また、同パッケージでは3Dアニメーションで自動ぐるぐる回転表示もさせるが、そこでは、複数のレイアウトを指定しそれを渡り歩かせるという仕組みで、いろいろな見せ方をさせる、という方法を取っている

2019-09-23

瓢箪

瓢箪メッシュを作る

2019-09-22

Quiver グラスマニアン

Quiver 箙グラスマニアン Grassmannian

Quiver grassmannian can be anythingという小文があった
その元ネタ文はEvery projective variety is a quiver Grassmannianというものだった
前者が具体例 $y^2 = x^3 + 1$ という楕円曲線を用いて説明しており、後者が一般論で記述してある
記法、変数の対応を取らないとよくわからないので、上記２文章が手元にあるものとして、それを読む手助けとするべく、対応を書き留めておく
Quiverは３つのベクトル空間 $V_1,V_2,V_3$ とそれらを結ぶ写像からなるが、 $V_2 \to V_1$ はｋ個の写像(具体例ではk=1)、 $V_2 \to V_3$ はn+1個の写像(具体例ではn+1=3)
n=2 : $y^2 = x^3 +1$ という楕円曲線を、 $y^2 z = x^3 + z^3$ という斉次多項式で表してやったときに、 $P^2$ 射影平面の話になるが、nはそのn
それをM個の値の組で表される $P^{M-1}$ 射影空間に引き上げるのだが、このM=10
$P^n$ は $V_3$ に、 $P^{M-1}$ は $V_2$ に対応する
具体例小文で6x3行列が出てくるが、これが一般論小文の $A(x)$ に相当する
$\mathbf{m} = (m_0,...,m_n)$ in $\mathbf{N}^{n+1}$ というのは、 $x^2y$ だったら $m_0=2,m_1=1,m_2=0$ ということで、2+1+0 = 3 = d