ぱらぱらめくる『量子統計力学の数理』

  • 超、ぱらぱらめくることにする
  • はっきり言って、全部解りたいわけではない
  • 量子力学が使う代数的確率変数と、その行列的取り扱いとは、いったい何をどう表しているのかが、概念的につかみたい

第1章 数学的準備ーートレース型作用素ヒルベルト-シュミット型作用素

  • 無限次元空間を扱う、ヒルベルト空間で考える、そこに線形作用素が乗っている
  • 作用素が2種類あるらしい。トレース型の方がヒルベルト-シュミット型より厳しいようだが、考え方の根本は同じっぽい

第2章 *代数と表現

  • 量子力学の代数的定式化のための諸概念
  • *代数がわかればよいのだろう
  • 状態も
  • 対称という概念も大事そうだ

第3章 C*代数

  • *代数の中で最も基本的なC*代数
  • これが自分に必要なものだとい思われる
  • C*環
  • 大事だ、大事だ、非可換幾何にも大事だ、と言われるフォン・ノイマン代数もここに出てくる
  • 状態はなんでもよいわけではなくて、『正規状態』というのがある

第4章 代数的量子力学

  • 量子力学の代数的定式化を公理論的にする
  • 要するに、量子物理の具体性を排除して数学として書くよ、ということだろう
  • 『量子系の状態はヒルベルト空間Hの零でないベクトルによって表されーーただし、零でない定数バイだけ異なるベクトルは同じ状態を表すーー、物理量はH上の自己共役作用素によって記述される』
  • 『この系の有界な物理量から生成される*代数をヒルベルト空間の有界線形作用素の部分集合\mathfrak{A} (Aの特殊フォント)として』定め、『このとき、任意の状態\Psi(ヒルベルト空間のベクトルであってノルムを1のものとしておく)に対して』、『(上で定めた作用素の部分集合の各要素A \in \mathfrak{A}に対して\omega_{\Psi}(A) :=<\Psi, A\Psi>という写像を定めると、ある状態において、いろいろな確率変数の(期待)値がこの写像関数によってもたらされる
  • この枠組みが代数的確率論(いろんな値の分布が正体だが、その期待値がわかる)

第5章 量子多体系の一般的構造

  • 量子力学は、個々の量子・小粒子を扱いたいから、出来上がってきたわけではなくて、たくさんあつまっているときに、それぞれが異なる変数値をとりつつ、全体として「見て取れる」のはどうなるの?という説明をして欲しい分野だから、そぅいう意味での多体系
  • それを扱うために、内部エネルギーとかハミルトニアンとかが出てくる
  • 数学的にはフォック空間とかが出てきて、それでせつめいできるじゃない、こんな風に~と
  • フォック空間だけではなくて、ボソンフォック空間、フェルミオンフォック空間
  • 多体系で、すべての要素を置換してもよい、という条件は(おそらく)一番考えやすい。理想気体では全要素が自由・独立なのでこれに相当する(らしい)

第6章 R^d有界領域における量子的多体系

  • 実世界に近づくために、多変量ではあるがユークリッド空間で
  • 理論的な空間

第7章 有界系の量子統計力学

第8章 理想ボース気体 --一般論

  • 物理は理想が好き

第9章 自由ボース気体 (I)

  • 少しずつ自然を記述したい

第10章 自由ボース気体 (II)

  • さらに。

第11章 理想フェルミ気体

  • 別タイプの理想

第12章 平衡状態の特徴づけと緩和現象

  • 有界系、非夕界系、一般化

付録A コンパクト作用素

  • 数学としてちゃんとやるときは、コンパクト性とか、大事

付録B 反線形作用素の理論

ぱらぱらめくる『Noncrossing partitions』

Introduction and Definitions, notation, and preliminaries

  • 整数分割
    • nの分割というとき、{1,2,...,n}をdisjointな部分集合に分割する、そのやり方の集合
    • 分割の記法:分割のグループ内では、要素を昇順に並べる。どのグループを先に書くかは、グループ内メンバーの中の最小値を代表値として取り出し、その順序で並べる
  • Noncrossing partitions
    • Noncrossing partitionssというとき、1,2,...,nを一列に並べて、分割して同じグループになったもの同士をトーナメント戦のようにフォークのようにつなぐこととした時に、フォークの線が交叉しないような分割のことを指す
    • 同様に1,2,3,...,nを円周上に並べて、同じグループのメンバー同士に線を引くことを考える。このときに線が交差しないようにできるようなグループ分けのことをNoncrossing partitionsという
    • この定義は「1 \le a < b < c < d \leのときに、a,cが同じグループで、b,dが同じグループだとしたら、a,b,c,dは全部同じグループであるような分割」と書かれる
    • このNoncrossing partitionsの場合の数がカタラン数になることが知られており、C_n=\frac{1}{n+1}\begin{pmatrix}2n \\ n \end{pmatrix}と計算される
  • (整数)分割の半順序・ポセット
    • 1/25/34/6/7 < 134/25/67 のような順序ルールを入れる。1,3,4が2グループに別れているか、1グループになっているかで、順序が入る。全てのグループで同じ方向の順序関係になっていれば、分割間でその順序関係があるものとする。グループごとに順序関係が入れ替わる場合は、分割としての順序関係は入れられないことにする。従って、半順序になる
    • 全要素を全て個別に分ける分け方は、分割のポセットの一番下になり、それを\hat {0}と書く。逆に全ての要素を全く分けないような分け方は、分割のポセットの一番上になり、それを\hat {1}と書く
    • このように上と下とが1点に閉じているポセットはlattice
    • 分割全体もlatticeであり、Noncrossing partitionsもlatticeである
    • Noncrossing partitionsは、各Noncrossing partitionのブロック数でグループ分けできて、そのn-ブロック数をランクという
    • ランクごとに幾つのNoncrossing partitionsがあるかの式も知られている
      • NC_n(k) := \#\{\pi \in NC_n: rank(\pi) = n-k \} = \frac{1}{n} \begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n\\ k-1 \end{pmatrix}
      • {1,2,...,n}のNoncrossing partitionsのうちブロックの数がkのものの数は、Noncrossing partitions集合の要素\pirank(\pi) = n-kとかけるが、その数は、右辺で計算できる、と、読める
      • カタラン数C_nが、次のように和にできる、ということである。C_n = \sum_{k=1}^n NC_n(k) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n\\ k-1 \end{pmatrix}
      • Rで確かめておく

    • メビウス関数とかもある
    • 全部でb個のブロックに分かれるとして、要素数i個のブロック数がm_iだとすると、\sum_{i=1}^n m_i=bが成り立ち、そのようなNoncrossing partitionsの場合の数にも式が知られていて\#NC_n(1^{m_1}2^{m_2},,,n^{m_n}) = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-b+2)}{\prod_{i=1}^n m_i!}

Enumerative combinatorics

  • Exactな列挙、漸近列挙の両方について、色々な列挙問題があり、それについての知見がある
    • 文章・文法領域的な列挙問題がある
    • 幾何・経路とそれが作る面積に関する列挙問題がある
    • 制約付き成長パターン列挙問題がある
    • 直交多項式の組み合わせ列挙問題がある
    • 制約付き順列列挙としてのNoncrossing partitions列挙問題がある
    • Diagonal harmonicsというものと関係しているらしい。Diagonal harmonicsがなんなのかわからないのだが、何か大事そうな匂いはする

Connections with topology

この問題は現れる

  • Maps, Hypermaps
    • Fig5の説明をしてみる
    • 平面に2つのノードa, b がある
    • ノードa,bにはそれぞれ(1,2,3,4,5), (6,7,8,9,10)という整数が振られている。5つの数字を順番にぐるりと回って円ができるが、その円がノードだとみる。このとき、{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}のNoncrossing partitionsの一つとして(1,2,3,4,5)(6,7,8,9,10)があることがわかる。これを\sigmaというNoncrossing partitionとする。このNoncrossing partitionがノードa,bの存在と状態を表している。ノード上での数値の配置は時計回りとする
    • 今、この2つのノードa,bに複数のハイパーエッジがある、aから出てaに戻り、もう一度aから出てaに戻り、さらにもう一度aから出てaに戻るエッジ"aaa"、aから出てaに戻りaから出てbへ渡りbから出てbに戻りbから出てbに戻りaに戻ってくる。これを"aabbb"と書く。同様に"bb"。ハイパーエッジでは、数値をたどるサイクルの回り方は反時計回りとする。これもNoncrossing partitionになっていて、(1,2,3)(4,5,8,9,10)(6,7)と表せる。これを\alphaとする
    • このとき、もう一つNoncrossig partitionが構成されていて、それは「面、face」を表しているという。今、ハイパーエッジをサイクルとして描図した時に、あるエッジが i->jと引けていたとする。このとき、iからスタートしてjの方向にはいけるけれど、jはそのエッジの「反対側〜向こう側」にあって、たどり着けないとする。エッジi->j自体をたどるならたどり着けるのだが、今は、エッジが分割した「残りの領域・面」の部分だけを歩くことが許されている、と考えれば良いだろうか。ノード上の数値を辿っているサイクルの方も同様で、1->2->...とたどるが、1から出発すると、2にはたどり着けない。そんな風にして、たどり着ける数値を、ノードのサイクルについては時計回りに、エッジのサイクルについては反時計回りにたどることを許すと、(1)(2)(3,10,7,5)(4)(6)(8)(9)なるNoncrossing partitionが現れる。これを\alpha^{-1}\sigmaと書く。おそらく、時計回り、反時計回りの区別がインバース表記に対応するのだろう
    • 結局、平面上に実現されたハイパーマップにて、ノード、エッジ、フェイスがNoncrossing partitionsで表現されることとなった

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hypergraph-noncrossing partition

    • ここで、ノード的サイクル数 +エッジ的サイクル数 +フェイス的サイクル数=N+2-2g、ただしgはgenusナンバーと成っている
    • これは、#Nodes - #Edges + #Faces = 2-2g というオイラーの式の一般化になっている。一般的な平面グラフでは、Noncrossing partition的な意味ので総ノード数N = 2 * エッジ系のサイクル数。なぜなら、普通のグラフでは、エッジは2端点のみを持っていて、それらをすべて別個に数え上げるのが、Noncrossing partition的ハイパーグラフ表現になっているから、#Nodes - #Edges + #Faces = 2-2gの両辺にNを加えると、#Nodes + #Edges + #Faces = N + 2-2gとなる
  • さらに、グラフの色塗り問題への代数的・多項式的アプローチにも使われ
  • ふたつのnoncrossig partitions的ペアリングを張り合わせるとNoncrossing サイクルが現れるとかにも応用される
  • どちらも、行列式とかを使った表現がある

Relations with geometric combinatorics

  • Convex polytope, hyperplane arrangement, reflection groupとかに応用される

Relations with algebra

  • 応用範囲が広いので、その(抽象)代数が展開されれば扱いやすいし、その方面での知見もある

Further examples

  • RNAの二次構造の場合わけとかに使える

ペアに分ける

  • いかにも、どこかにアルゴリズムがありそうだが見つからないので作る
  • 偶数kにつき、(1,2,...,k)をk/2ペアに分けるわけ方を列挙する
  • 作戦としては、k個から2つを取り出す場合を列挙、ついでk-2個から2つを取り出す場合を列挙、、、繰り返す
  • そうすると重複して列挙されるので、ユニークを取る
  • ペアのユニーク確認のために、数ラベルペアを文字列化して、そのユニーク確認をし、文字列になったものを数字に戻す

  • 第1,2列がペア、第3,4列がペア、…、第2n-1, 2n列がペア
> my.all.pairs(2)
     [,1] [,2]
[1,]    1    2
> my.all.pairs(4)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    1    3    2    4
[3,]    1    4    2    3
> my.all.pairs(6)
      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
 [1,]    1    2    3    4    5    6
 [2,]    1    3    2    4    5    6
 [3,]    1    4    2    3    5    6
 [4,]    1    5    2    3    4    6
 [5,]    1    6    2    3    4    5
 [6,]    1    3    2    5    4    6
 [7,]    1    3    2    6    4    5
 [8,]    1    2    3    5    4    6
 [9,]    1    2    3    6    4    5
[10,]    1    4    2    5    3    6
[11,]    1    5    2    4    3    6
[12,]    1    6    2    4    3    5
[13,]    1    4    2    6    3    5
[14,]    1    5    2    6    3    4
[15,]    1    6    2    5    3    4

テイラー展開 複素関数 特性関数 キュムラント

  • こちら

ryamada22.hatenablog.jp
で、確率測度とかモーメント母関数とか特性関数とかキュムラントとかについて書いている

  • \psi(t)=\int e^{ist} d\nu (s)とかいう複素関数積分になっている関数をテイラー展開して
  • \psi(t) = \sum_{n \ge 0} \frac{\alpha_n}{n!} (it)^n; \alpha_n = i^{-n} \psi^{(n)}(0)というような係数列を作りたい
  • Rにはpracmaパッケージにtaylor()関数があって、n階導関数を階乗で除した係数\frac{f^{(n)}(0)}{n!}を降順に返してくれるのだけれど、このあたりをちょっと丁寧に確認しておきたい
  • taylor()関数は複素関数を取って、f(t) = \sum_{i=0}^{\infty} c_i  t^iの係数c_iを返してくれる。実際には、c^8程度までを返す仕様になっている。複素関数の場合にはc_i複素数になっている
  • 今、確かめたいのは、\psi(t) = \sum_{n \ge 0} \frac{\alpha_n}{n!} (it)^n; \alpha_n = i^{-n} \psi^{(n)}(0)とするときの\alpha_nの値だったり、\psi^{(n)}の値だったり、tを与えて、それを(it)^nにしたりするあたりが本当にそうなっているのかの検算
  • taylor()関数の返り値を使ってa_n,\psi^{(n)}(0)を算出し、それをつかって、オリジナルの関数の近似値が計算できることを以下で確かめる

  • こうしてやると、特性関数の係数a_nと、キュムラント(特性関数の対数関数)の係数k_n\log{\psi(t)} = \sum_{n=1}^m k_n \frac{(it)^n}{n!} + o(t^m)との間に、組み合わせ的な整数であらわされる関係が現れる
  • そのあたりのことはcumulants-momonts relationという話があるこちら組み合わせ論ともつながる
my.binom.psi.log <- function(t){
	tmp <- my.binom.psi(t)
	return(log(tmp))
}
> my.an(my.binom.psi,0,8)
$an
[1] 1.0087508+0i 0.0000000+0i 0.9995117+0i 0.0000000+0i 1.0000159+0i 0.0000000+0i 1.0000000+0i
[8] 0.0000000+0i 1.0000000+0i

$drv
[1]  1.0087508+0i  0.0000000+0i -0.9995117+0i  0.0000000+0i  1.0000159+0i  0.0000000+0i
[7] -1.0000000+0i  0.0000000+0i  1.0000000+0i

> my.an(my.binom.psi.log,0,8)
$an
[1] -273.982768+0i    0.000000+0i   16.007480+0i    0.000000+0i   -2.000005+0i    0.000000+0i
[7]    1.000000+0i    0.000000+0i    0.000000+0i

$drv
[1] -273.982768+0i    0.000000+0i  -16.007480+0i    0.000000+0i   -2.000005+0i    0.000000+0i
[7]   -1.000000+0i    0.000000+0i    0.000000+0i

ぱらぱらめくる『Morse理論の基礎』

まえがき

  • 空間は幾何学の、関数は解析学の対象
  • 空間上で定義された関数と、その空間の計上とには関わりがある
  • そのかかわりに関する理論がMorse理論
  • 特に関数の臨界点に関する情報から空間の形に関する情報を引き出すところに特徴がある
  • 第1章で曲面を例としてMorse理論の基本tね木概念を導入
  • 第2章で一般次元に拡張
  • 第3章でMorse理論が多様体を目で見るための統一的方法としてハンドル体を説明
  • 第4章はハンドル分解とセル分解の関係を論じ、多様体ホモロジー論が見やすくなる
  • 第5章は低次元(4次元以下)の多様体の話。視覚的に表現できる次元

第1章 曲面上のMorse理論

  • 臨界点は、関数を微分して0になる点
  • 退化と非退化
    • 2階の微分で0になる臨界点は「退化」
    • 2階の微分で0にならない臨界点は「非退化」
    • 「非退化な臨界点」はすこし摂動しても「非退化な臨界点」のままなのに対して、「退化なそれ」は臨界点でなくなったり、2つの非退化臨界点に分裂したりする。~不安定な臨界点
  • 臨界点の評価にはヘッセ行列(2階の微分が作る行列)を用いる
  • ヘッセ行列の行列式が0でない場合が非退化
  • 非退化な臨界点(2次元曲面の場合)は、個々の臨界点は孤立しており、x^2+y^2=z, x^2-y^2=z,-x^2-y^2=zの3通りに分類できる
  • この3通りに、0,1,2という指数を対応付ける
  • 曲面上のMorse関数
    • ある曲面上の関数の臨界点がすべて非退化であるとき、その関数をMorse関数と呼ぶ
    • こんな定理もある
      • 『閉曲面Mの上に、非退化な臨界点が2つだけのMorse関数f : M \to Rが存在すれば、Mは球面に微分同相である
    • 『ある特別な場合ではあるが、曲面上のMorse関数によってその曲面の計上が決まる』ことが示されている。これの体系的研究がMorse理論
  • 曲面上のMorse関数の最小値・最大値を考える。値を最小値から最大値へと変化させると、Mの部分集合が0から始まってだんだん大きくなり、Mそのものに到達する。その推移の様子を捕らえんとするのがMorse理論
  • x^2+y^2=z的な非退化臨界点をよぎるとき、新規に円板が生じる(0-ハンドル)
  • x^2-y^2=z的な非退化臨界点をよぎるとき、「橋渡し的な領域~1-ハンドル」が生じる
  • -x^2-y^2=z的な非退化臨界点をよぎるときは、円板状の空隙が消失する。この空隙を2-ハンドルと呼ぶ
  • 閉曲面とその上のMorse関数により、ハンドルの列ができる。これがハンドル分解

第2章 一般次元への拡張

  • 素直な拡張

第3章 ハンドル体

  • ハンドルではりつけて(高次元)閉曲面ができる
  • 位相的に同相だけれど、微分同相とは限らない、という状況が高次元では生じる。その例が、7次元以上で存在するエキゾチック球面(こちらに記事)

第4章 多様体ホモロジー

  • 単体的複体は、単体の境界が単体となっていて、その合成のこと
  • セル複体も同様で、より高次元のセルの境界が1次元低次元のセルになっているような構成を考え、その合成がセル複体
  • どちらも、単体・セルで張り合わせられる
  • チェイン状にする、とか、カーネルを考える(写像して0につぶれる)とか、そういう扱いの対象になっている
  • このあたりをいじると、Betti数、オイラー標数とか自然数が特徴を体現する話が出てくる
  • Betti数とMorse関数の指数別の臨界点の個数には不等式関係がある
  • Betti数は多様体の形によって決まる数であるから、Morse関数の臨界点の個数も形によって決まる数であることが間接的に解る

第5章 低次元多様体

ミンコフスキー空間

  • \phi(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \Sigma \mathbf{y}によって内積が決まっている空間を考える
  • ただし\Sigmaは対角行列で、d-1個の1と1個の-1とが対角成分とする
  • このミンコフスキー空間\phi(\mathbf{x} - \mathbf{y} ,\mathbf{x} - \mathbf{y} ) =\phi(\mathbf{x},\mathbf{x}) + \phi(\mathbf{y},\mathbf{y}) - 2\phi(\mathbf{x},\mathbf{y})がすべての点のペアについて0以上になるようにすると
  • d-1次元多様体が現れる